Внимание! ​go-diplom.ru не продает дипломы, аттестаты об образовании и иные документы об образовании. Все услуги на сайте предоставляются исключительно в рамках законодательства РФ.

 ​  Россия

  go-diplom.ru

Помогаем студентам

   ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Билеты по аналитической геометрии

Гипотеза Де Бройля

Однако такие противоречия существовали лишь в классиче ской физике. Квантовая теория полностью объясняет с единых позиций все свойства света. Характерной чертой квантовой теории света является объяс

Влияние химически активных веществ на здоровье человека

Особенно тяжелая обстановка складывает-ся в городах, где велика концентрация населения. В России определены 55 городов, где уровень загрязнения очень велик. Ежегодно в нашей стране улав-ливается и об

Бiоелемент кальцiй

Частина третя Роль елементу в житті рослин, потреба різних рослин в кальції, проблеми, що виникають при його надлишку та нестачі. Частина четверта Форми та види кальцієвих добрив, природні та промисло

Социальное значение спорта

Истинную природу и значение физической культуры в социуме, ее опережающее глубинное понимание можно познать только с учетом постоянного расширения взгляда на мир, меняющегося под влиянием научно-техни

Фихте

Иоганн Готлиб (первенец в семье с восемью детьми) рано обратил на себя внимание окружающих жаждой знаний, феноменальной памятью. В 12 лет благодаря покровительству местных пастора и помещика одаренный

Стремление стран-участниц СНГ в НАТО

Формула расширения альянса на официальном уровне повторяется как рекламный призыв «двери в альянс остаются открытыми для всех». Очередь «добровольцев» у парадного подъезда НАТО выстраивается. Но особы

Источники финансирования учреждений культуры и культурных программ. Технология планирования

Поэтому они или полностью финансируются из государственного бюджета (по уровню принадлежности учреждения: федерального, субъекта Федерации или местного), или получают из него средства, необходимые для

Особенности функционирования рынка земли Беларуси

Земельный рынок формирует условия, стимулирующие эффективное использование земли, и вынуждает отдельных субъектов отказаться от части земли или от всего участка, если он не функционирует эффективно.

Скачать работу - Билеты по аналитической геометрии

Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.

Теорема: Если заданы два вектора a и b, причем а ¹ 0 и эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g , что b= g a. Теорема: Для того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы они были коллинеарны.

Доказательство: достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b= g a. Будем считать, что а,b ¹ 0 (если нет, то система линейно-зависима по 1 свойству). 1bg a=0. Т.к. коэфф. При b ¹ 0, то система линейно зависима по определению.

Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. a а+ b b=0, a ¹ 0. а= -b/ a *b. а и b коллинеарны по определению умножения вектора на число.

Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Необходимость. Дано: a, b, c – линейно-зависимы.

Доказать: a, b, c – компланарны.

Доказательство: т.к. векторы линейно-зависимы, то a а+ b b+ g c=0, g ¹ 0. с= - a / g *а - b / g *b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости. БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ. 1. Определение: пусть задана некоторая система векторов.

Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых векторов системы. В множестве векторов на прямой базис состоит из одного ненулевого вектора. В качестве базиса множества векторов на плоскости можно взять произвольную пару. В множестве векторов в трехмерном пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов. 2. Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом и одинаковой масштабной ед. на осях.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение: скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на косинус угла между ними. (а,b)=|a| |b| cos u, u 90, пр-е отриц.

Свойства: 1. (а,b)= (b,а) 2. ( a а,b)= a (а,b) 3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с) 4. (а,а)=|a| 2 – скал.квадрат.

Определение: два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0. Определение: вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1. Определение: базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.

Теорема: Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Найдем формулу угла между векторами по определению скалярного произведения. cos u=a,b/|a||b|=x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 /sqrt(x 1 2 +y 1 2 +z 1 2 )*sqrt(x 2 2 +y 2 2 +z 2 2 ) ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ. Определение: векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b] называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.

Свойства: 1. [a,b]= - [b,a] 2. [ a а,b]= a [а,b] 3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c] 4. [a,a]=0 Теорема: Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма построенного на этих векторах.

Доказательство: справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного произведения.

Теорема: Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в третьей – координаты второго.

Определение: ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с вектором а. e a =a/|a| РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ. 1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3. Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6. Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр. 8. Пучок пр. 9.Угол между пр. 1. Ах+By+C=0 (1), где A, B одновр.не равны нулю.

Теорема: n(A,B) ортоганален прямой заданной ур-ем (1). Доказательство: подставим коорд. т.М 0 в ур-е (1) и получим Ах 0 +By 0 +C=0 ( 1’ ). Вычтем (1)-( 1’ ) получим А(х-х 0 )+B(y-y 0 )=0, n(A,B), М 0 М(х-х 0 , y-y 0 ). Слева в полученном равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M 0 M ортоганальны. Т.о. n ортоганлен прямой.

Вектор n(A,B) называется нормальным вектором прямой.

Замечание: пусть ур-я А 1 х+B 1 y+C 1 =0 и А 2 х+B 2 y+C 2 =0 определяют одну и ту же прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А 1 =t*А 2 и т.д.

Определение: если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным. 1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0) 2. С=0, А=0, By=0, значит у=0 3. С=0, B=0, Ах=0, значит х=0 4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ 5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY 2. x/a+y/b=1. Геом.смысл: прямая отсекает на осях координат отрезки а и b 3. x-x 1 /e=y-y 1 /m Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой (паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M 1 М(х-х 1 ; y-y 1 ) 4. x-x 1 /x 2 -x 1 =y-y 1 /y 2 -y 1 Пусть на прямой даны две точки М 1 (x 1 ;y 1 ) и М 2 (x 2 ;y 2 ). Т.к. на прямой заданы две точки, то задан направляющий вектор q(x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ) 5. y=kb+b. u – угол наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u Пусть прямая задана в каноническом виде.

Найдем угловой коэффициент прямой tg u = m/e. Тогда видим x-x 1 /e/e=y-y 1 /m/e. y-y 1 =k(x-x 1 ) при y 1 -kx 1 =b, y=kx+b 6. xcos q +ysin q -P=0 q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ. Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos q , sin q ). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой.

Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos q x+sin q y. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем.

Перейти к норм. виду. Ах+By+C=0 xcos q +ysin q -P=0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos 2 q =(A*t) 2 Sin 2 q =(B*t) 2 -p=C*t cos 2 q +sin 2 q =t 2 (A 2 +B 2 ), t 2 =1/A 2 +B 2 , t= ± sqrt(1/ A 2 +B 2 ). Sign t= - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель. 7. Система: x=et+x 1 и y=mt+y 1 НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой. 1. xcos q +ysin q -P=0 q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ. Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и q Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos q , sin q ). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой.

Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cos q x+sin q y. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем.

Перейти к норм. виду. Ах+By+C=0 xcos q +ysin q -P=0 т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности. Cos 2 q =(A*t) 2 Sin 2 q =(B*t) 2 -p=C*t cos 2 q +sin 2 q =t 2 (A 2 +B 2 ), t 2 =1/A 2 +B 2 , t= ± sqrt(1/ A 2 +B 2 ). Sign t= - sign C Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t. Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель. 2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos q +ysin q -P=0 и М 1 (x 1 ;y 1 ), тогда отклонение точки М 1 = x 1 cos q +y 1 sin q -P=0 Задача: найти расстояние от точки М 0 (x 0 ;y 0 ) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x 0 cos q +y 0 sin q -P|. d=|Ах 0 +By 0 +C|/sqrt(A 2 +B 2 ) ГИПЕРБОЛА. Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная Каноническое уравнение: Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F 1 F 2 |=2c, М – произвольная точка гиперболы. r 1 , r2 – расстояния от М до фокусов; |r 2 -r 1 |=2a; a x 2 c 2 -2a 2 xc+a 2 =a 2 (x 2 -2xc+c 2 +y 2 ) x 2 (c 2 -a 2 )-a 2 y 2 =a 2 (c 2 -a 2 ) c 2 -a 2 =b 2 x 2 b 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 - каноническое ур-е гиперболы ПАРАБОЛА. Определение: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой.

Каноническое уравнение: Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат. |DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d; r=sqrt((x-p/2) 2 +y 2 ); d=p/2+x Приравниваем и получаем: y 2 =2px - каноническое уравнение параболы ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ. 1. Определение: эксцентриситет – величина равная отношению с к а. е=с/а е эллипсв c) е гиперболы >1 (т.к. с>a) Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0. Выразим эксцентриситеты через а и b: е эллипса является мерой его «вытянутости» е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами 2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е D 1 : x= - a/e D 2 : x= a/e р=а(1-е 2 )/е – для эллипса р=а(е 2 -1)/е – для гиперболы ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Теорема: Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса (гиперболы). Доказательство: для эллипса. r 1 /d 1 =e |a|, xe+a>0 r 1 =xe+a d 1 – расстояние от М(x,y) до прямой D 1 xcos180+ysin180-p=0 x=-p x=-a/e б м =-x-a/e d 1 =-б м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.) Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если 1, параболу, если =1. ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ. Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы. Пусть задан фокус этих кривых.

Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус. r= r d=p+ r cos j e= r /p+ r cos j - полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задан эллипс в каноническом виде.

Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М 0 (x 0 ;y 0 ) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо: у-у 0 =y’(x 0 )(x-x 0 ) Рассмотрим касательную к кривой следовательно ya 2 y 0 -a 2 y 0 2 +b 2 x 0 x-b 2 x 0 2 =0 - уравнение касательной к эллипсу. - уравнение касательной к гиперболе. - уравнение касательной к параболе. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота. Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало.

Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами: ( е 1 ; е 1 ’)=cos u ( е 1 ; е 2 ’)=cos (90+u)= -sin u ( е 2 ; е 1 ’)=cos (90-u)=sin u (е 2 ;е 2 ’)=cos u Базис рассматривается ортонормированный: (е 1 ;е 1 ’)=(е 1 , a 11 е 1 + a 12 е 2 )= a 11 (е 1 ;е 2 ’)= (е 1 , a 21 е 1 + a 22 е 2 )= a 21 (е 2 ;е 1 ’)= a 12 (е 2 ;е 2 ’)= a 22 Приравниваем: a 11 =cos u a 21 = - sin u a 12 =sin u a 22 =cos u Получаем : x=a+x’cos u – y’sin u y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u. ------------ x=a+x’ y=b+y’ - формулы параллельного переноса ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА. Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I 1 ; I 2 ; I 3 Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение: I 2 >0 – элиптический тип I 2 I 2 =0 – параболический тип ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть задана на плоскости линия уравнением (1). Параллельный перенос: Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого: a 11 x’ 2 +2a 12 x’y’+a 22 y’ 2 +a’ 33 =0 (2) точка О’ находится из условия: a 13 ’=0 и a 23 ’=0. Получается система a 11 x 0 +a 12 y 0 +a 13 =0 и a 12 x 0 +a 22 y 0 +a 23 =0 Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’) Но точка О’ существует если знаменатели у x 0 и y 0 отличны от нуля. Точка O’ – единственная точка. Центр симметрии кривой существует если I 2 ¹ 0 т.е. центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа Поворот: Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а 12 =0. a 12 ’= -0,5(a 11 -a 22 )sin2u+a 12 cos2u=0 (разделим на sin2u), получим: a 11 ’x’ 2 +a 22 ’y’ 2 +2a 13 ’x’+2a 23 ’y’+a 33 ’=0 (3) ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I 2 >0 и пусть I 1 >0 следовательно уравнение (1) определяет: 1. I 3 3 =0 – точка; 3. I 3 >0 – ур-е (1) не определяет. Если I 3 =0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I 3 >0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*). Доказательство: 1. пусть I 2 >0, I 1 >0, I 3 а 11 ’’x’’ 2 +a 22 ’’ y’’ 2 = -I 3 /I 2 I 2 =a 11 ’’a 22 ’’ > 0 I 1 = a 11 ’’+a 22 ’’ > 0 a 11 ’’ > 0; a 22 ’’ > 0 Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса. 2. I 3 >0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа. 3. I 3 =0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса. ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I 2 3 ¹ 0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I 3 =0 – пару пересекающихся прямых.

Доказательство : I 2 2 = a 11 ’’a 22 ’’ Пусть a 11 ’’>0; a 22 ’’ Пусть I 3 >0 В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ. Пусть I 3 -(- а 11 ’’)x’’ 2 +a 22 ’’ y’’ 2 = -I 3 /I 2 В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY Пусть I 3 =0 а 11 ’’x’’ 2 -(-a 22 ’’)y’’ 2 =0 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА. Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a 11 x 2 +2a 12 xy+a 22 y 2 Определение: ненулевой вектор ( a , b ) координаты которого обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического направления заданной кривой. ( a , b ) – вектор асимптотического направления. a 11 a 2 +2a 12 a b +a 22 b 2 =0 (*) Рассмотрим ( a ’, b ’) параллельный ( a , b ): следовательно a / b характеризует вектор асимптотического направления.

Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.

Решение: положим, что b ¹ 0 и поделим на b 2 , получим: a 11 ( a / b ) 2 +2a 12 a / b +a 22 =0 из этого квадратного уравнения найдем a / b . т.к. у линий гиперболического и параболического типов I 2 0, то они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I 2 >0 следовательно таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления). Найдем асимптотические направления у гиперболы: ( a , b ) 1 =(a,b) ( a , b ) 2 =(-a,b) Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для асимптот. Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются асимптотами гиперболы.

Найдем асимптотические направления у параболы: y 2 =2px y 2 -2px=0 u(x,y)= y 2 +0, y=0 ( a , b )=(0,0) Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является.

Парабола имеет одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет. РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ. Пусть задано трехмерное пространство.

Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C ¹ 0 одновреенно.

Справедлива и обратная теорема.

Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.

Вектор n – нормальный вектор плоскости. 2. Уравнение плоскости в отрезках: 3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой. Пусть n(A,B,C) и М(x 0 ;y 0 ;z 0 ). Запишем ур-е пл-ти: Ax+By+Cz+D=0 Ax 0 +By 0 +Cz 0 =-D A(x-x 0 )+B(y-y 0 )+C(z-z 0 )=0 5. Уравнение плоскости ч/з 3 точки. Пусть известны три точки не принадл. одной прямой. М 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ); М 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ); М 3 (x 3 ;y 3 ;z 3 ) Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны. М 1 М x-x 1 y-y 1 z-z 1 М 1 М 2 x 2 -x 1 y 2 -y 1 z 2 -z 1 =0 М 1 М 3 x 3 -x 1 y 3 -y 1 z 3 -z 1 6. Параметрическое ур-е плоскости. Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов. V(V 1 ;V 2 ;V 3 ); U(U 1 ;U 2 ;U 3 ); M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), тогда плостость имеет вид: система: x=x 0 +V 1 t+U 1 s и y=y 0 +V 2 t+U 2 s и z=z 0 +V 3 t+U 3 s РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ. Ax+By+Cz+D=0; M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, поэтому n 1 (A 1 ;B 1 ;C 1 ); n 2 (A 2 ;B 2 ;C 2 ). Отыскание угла между плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами. Пучки и связки плоскостей.

Определение: пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, проходящих ч/з одну и ту же прямую. Что бы задать пучок плоскостей д.б. определены две плоскости Теорема: Пусть две плоскости пучка заданы уравнениями: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0, тогда любая другая плоскость пучка задана уравнением: a (A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 )+ b (A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 ), где a и b принадлежат R и не равны нулю одновременно.

оценка дачи рыночная в Калуге
экспертиза зданий в Туле
консалтинг оценка в Липецке

НАШИ КОНТАКТЫ

Адрес

Россия

НОМЕР ТЕЛЕФОНА

8-800-887-40-94

График

пн-пт с 8:00-22:00 сб,вс - выходной

Email

zakaz@​go-diplom.ru

ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ

ДОСТУПНО 24 ЧАСА В ДЕНЬ!
Thank you! Your message has been sent.
Unable to send your message. Please fix errors then try again.