Геология

Теория государства и права

Физика

Педагогика

Бухгалтерский учет

Транспорт

Культурология

Радиоэлектроника

Историческая личность

Философия

География, Экономическая география

Охрана природы, Экология, Природопользование

Психология, Общение, Человек

История

Конституционное (государственное) право зарубежных стран

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Гражданская оборона

Менеджмент (Теория управления и организации)

История государства и права зарубежных стран

Программное обеспечение

История отечественного государства и права

Налоговое право

Таможенное право

Технология

Физкультура и Спорт, Здоровье

Литература, Лингвистика

Программирование, Базы данных

Медицина

Материаловедение

Земельное право

Конституционное (государственное) право России

Москвоведение

Сельское хозяйство

Право

Компьютеры, Программирование

Гражданское право

Маркетинг, товароведение, реклама

Астрономия

Иностранные языки

Нероссийское законодательство

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Биология

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Социология

Математика

Экономико-математическое моделирование

Религия

Экономика и Финансы

Искусство

Административное право

Компьютеры и периферийные устройства

Музыка

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Российское предпринимательское право

Астрономия, Авиация, Космонавтика

Трудовое право

Банковское дело и кредитование

Муниципальное право России

Военное дело

Пищевые продукты

Политология, Политистория

Экскурсии и туризм

Криминалистика и криминология

Экологическое право

Физкультура и Спорт

Уголовное и уголовно-исполнительное право

Архитектура

Промышленность и Производство

Компьютерные сети

Банковское право

Военная кафедра

Римское право

Биржевое дело

Ценные бумаги

Прокурорский надзор

Гражданское процессуальное право

Уголовный процесс

Химия

Теория систем управления

Финансовое право

Металлургия

Страховое право

Искусство, Культура, Литература

Законодательство и право

Авиация

История экономических учений

Подобные работы

Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка

echo "Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области [1,2,3] . В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна и

Пирамиды

echo "Пирамиды представляют интерес для математиков, историков, физиков, биологов, медиков, философов. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя не стоит забывать и о

Нестандартный анализ

echo "Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом нес

Численное интегрирование определённых интегралов

echo "Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, 'классические' методы численного интегрирования: метод прямоугольнико

Шпаргалка (математика)

echo "Ломаной, когда число звеньев неогранич-о растет, а длина max звена стремится к 0. При оч. мал. х: dl = [( dx ) 2 + ( dy ) 2 ] = [( dx ) 2 +( y ’ x ) 2 + ( dx ) 2 ] = [1+( y ’ x ) 2 ] dx l дуги a

Экзаменационные билеты по геометрии (9 класс, шпаргалка)

echo "Доказать: BO = OD и AO = OC . Д-во : AOB = COD по стороне и двум прилежащим к ней углам ( AB = DC как противоположные стороны параллелограмма, ABO = CDO , BAO = DCO как накрест лежащие углы при

Билеты по аналитической геометрии

echo "Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. Теорема:

Структура сходящихся последовательностей

echo "Определение: Последовательность {x n }называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x n -а}является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последо

Экзаменационные билеты по геометрии (9 класс, шпаргалка)

Доказать: BO = OD и AO = OC . Д-во : AOB = COD по стороне и двум прилежащим к ней углам ( AB = DC как противоположные стороны параллелограмма, ABO = CDO , BAO = DCO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущих BD и AC ). Поэтому BO = OD , AO = OC , ч.т.д.

Признаки параллелограмма: 1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. 2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. 3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм.

Билет 3. (1) Третий признак равенства треугольников по трем сторонам формулируется в виде теоремы. Т: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Д: Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 – треугольники, у которых AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 . Наложим ABC на A 1 B 1 C 1 так, чтобы их стороны AC и A 1 C 1 совместились, а вершины B и B 1 оказались по одну сторону от A 1 C 1 . Предположим, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 не равны, тогда они не совместятся, это значит, что вершина B не совместится с вершиной B 1 . Соединим точки B 1 и B отрезком и найдём середину этого отрезка.

Треугольники B 1 BA 1 и B 1 BC 1 – равнобедренные треугольники ( A 1 B 1 = A 1 B и С 1 B 1 = C 1 B ) с общим основанием B 1 B . Отрезки A 1 D и C 1 D не совпадают, потому что точки A 1 , C 1 и D не лежат на одной прямой, то оказалось, что через точку D прямой B 1 B проведены две разные прямые, перпендикулярные к B 1 B . Это противоречит теореме, согласно которой через каждую точку прямой можно провести лишь одну перпендикулярную ей прямую. Это противоречие доказывает теорему. (2) Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого AB = BC = CD = DA . По определению этот параллелограмм – ромб.

Поскольку ромб – параллелограмм, для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма. Но существует и особое свойство ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. В равнобедренном ABD ( AB = AD , так как ABCD – ромб) BO = OD по свойству диагонали параллелограмма, следовательно, AO – медиана, а значит и высота, и биссектриса ABD . Отсюда AO ^ BD , BAO = DOA . Обратные утверждения являются признаками ромба: 1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб 2) Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм ромб.

Билет 5. (1) Т: Сумма углов треугольника равна 180 . Д: Докажем, что для произвольного АВС справедливо соотношение А+ В+ С= 180 . Через вершину В проведём прямую а, параллельную стороне АС, и введём в рассмотрение углы, образованные этой прямой со сторонами АВ и ВС: 1 и 2.Углы 1 и А – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых а и АС, и секущей АВ, поэтому 1= А. Углы 2 и С – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых а и АС и секущей ВС, поэтому 2= С. Сумма углов 1,В и 2 равна развёрнутому углу, значит 1+ В+ 2= 180 . В силу полученных равенств будем иметь A + B + C = 180 . Теорема доказана. (2) Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная к окружности обладает свойством, которая формулируется в виде теоремы. Т: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Д: Проведём радиус OA окружности, в точку касания.

Докажем, что a ^ OA . Предположим, что это не так. Тогда радиус OA является наклонной, проведённой из точки O к прямой a . Так как перпендикуляр прямой O до прямой меньше радиуса. При этом, согласно первому случаю взаимного расположения прямой и окружности, прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит тому условию, что прямая a – касательная.

Теорема доказана. Из доказанной теоремы является свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки.

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. AC=BC ; ACO= BCO.

Билет 7. (1) Т: В треугольнике 1) против большей стороны лежит большой угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона. Д: На рисунке изображён АВС, в котором АВ>ВС. Докажем, что С> А. На стороне АВ отложим отрезок BD , равный отрезку ВС, и построим равнобедренный DBC . Равные углы при основании этого треугольника обозначим 1 и 2. Так как точка D лежит между точками A и B (ВD=ВС 1 является частью С, то есть 1 С. Угол 2 внешний угол АDС, поэтому 2> А. Но 1= 2, значит справедливо соотношение А 1= 2 С или С> А.Д: Пусть в АВС С> А. Докажем, что АВ>ВС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=ВС. В первом случае АВС равнобедренный, а значит С= А. Во втором случае С ВС.Т: доказана. (2) Радиус окружности, описанной около правильно п -угольника со стороной а п выражается по формуле R =( a n )/ (2 sin ( 180 / n )). Для вывода этой формулы разобьём правильный n -угольник на n равных равнобедренных треугольников радиусами, проведёнными из центра в вершину n -угольника.

Рассмотрим один из таких треугольников, например A 1 OA 2 в этом треугольнике A 1 A 2 = a n сторона n -угольника, A 1 O = A 2 O = R – радиус описанной окружности, A 1 OA 2 = 360 / n . Из центра окружности O опустим перпендикуляр OB на отрезок A 1 A 2 : OB ^ A 1 A 2 . Этот перпендикуляр является высотой, медианой и биссектрисой равнобедренного A 1 OA 2 . Поэтому A 1 B = BA 2 = a n /2; A 1 OB = A 1 OA 2 = 180 / n . В прямоугольном A 1 OB A 1 B / A 1 O = sin A 1 OB или a n /2 R = sin ( 180 / n ) откуда R =( a n )/ (2 sin ( 180 / n )). Определение : окружность называется описанная около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности . Т: Около любого правильного многоугольника (n-угольника) можно описать окружность, и притом только одну.

Билет 9. (1) Т: Средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Д: В АВС М N -средняя линия.

Докажем, что М N АС, М N =½ AC .Треугольники МВ N и АВС подобны по первому признаку подобия ( Вобщий угол, ВМ ВА=В N ВС=½), поэтому ВМ N = BAC , MN AC =½. Из последнего равенства следует что MN =½ AC . BMN и BAC – соответственные углы при прямых MN и AC и секущей AB . Из их равенства следует параллельность прямых MN и AC : MN AC . Т: доказана.

Определение: средней линией называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. (2) Площадь S круга радиуса R выражается формулой S = R 2 . Для вывода этой формулы докажем утверждение: Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус: S =½ l • R . Представлен круг радиуса R с центром O , а также 2 правильных n - угольника – вписанный в окружность ( A 1 A 2 … A n ) и описанный около неё ( A 1 ’ A 2 ’ … A n ’ ). Площадь S заключена между площадями S n вписанного и S n ’ описанного n -угольников: S n S S n ’ Площадь вписанного n -угольника выражается формулой S n =½ P n r , где P n – его периметр, r – радиус вписанной в него окружности. Из рассмотрения прямоугольного A 1 BO получаем OB = A 1 O cos A 1 OB или r =К cos 180 / n ( A 1 O = R ; A 1 OB =½ A 1 OA 2 = 180 / n ) Отсюда S n =½ P n Rcos 180 / n . Площадь описанного n -угольника выражается формулой S n ’ =½ P n ’ • R где P n ’ – его периметр. При неограниченном увеличении числа сторон n -угольников ( n ) и в периметре приближаются к длине l окружности. P n l , P n ’ l n n угол 180 / n приближается к 0, а его cos к 1: ( ( cos ( 180 / n ))/( n /( n )) ) l Следовательно, S n ½ l R , S n ’ ½ l R n n Это означает что площадь S круга ограничена с двух сторон последовательностями S n и S n ’ , стремящимися при n к одному и тому же пределу. Этот предел и принимается за площадь круга: S =½ l • R . Заменяя длину окружности l на 2 R получаем S = • R 2

Билет 11. (1) Окружностью, описанной около , называется окружность которая проходит через все вершины . Рассмотрим теорему. Т : около любого можно описать окружность. Д: На рисунке АВС ; ОК, OL и ОМ серединные перпендикуляры к его сторонам.

Докажем, точка О их пересечение равноудалена от вершин А, В и С. Соединим точку О с вершинами и рассмотрим АОК и ВОК: АОК= ВОК по первому признаку равенства треугольников (АК=КВ по условию, ОК - общая сторона ВКО= АКО=90°). Отсюда АО=ВО. Аналогично доказываем, что ВО=СО. Следовательно АО=ВО=СО, т.е точка О равноудалена от вершины АВС. Значит все вершины лежат на окружности с центром в точке О и радиусом, равным ОА. Эта окружность является окружностью, описанной около АВС.Т: доказана. (2) Равенство справедливое при всех допустимых значениях входящих в него в переменных, называется тождеством.

Справедливы следующие тригонометрические тождества: (1) sin 2 + cos 2 =1; (2) 1= tg 2 = 1/ cos 2 ; 3) l + ctg 2 • =1/ sin 2 . Докажем тождество 1. Для этого рассмотрим тригонометрическую окружность, радиус R , который равен 1 ( R =1), а центр O расположен в начале прямоугольной декартовой системы координат Oxy . Отложим острый AOB : AOB = и опустим из точки B , лежащей на окружности, перпендикуляр BC к оси Ox . BC ^ Ox . По определению синуса и косинуса угла альфа имеем. sin = y , sos = x , где x и y координаты точки B . В прямоугольном OBC катеты и гипотенуза выражаются: OC = x = cos ; BC = y = sin , OB = R =1. По теореме Пифагора OC 2 + BC 2 = OB 2 или cos 2 + sin 2 =1. Тождество (1) доказано для случая 0 90 . При = 90 cos =0, sin =1, поэтому тождество справедливо. Для тупого угла = AOB ’ ( 90 180 ). Аналогичные рассуждения проводятся для прямоугольного OB ’ C ’ . Наконец, в случае развёрнутого угла ( = 180 ) cos =-1, sin =0. Тождество 1 справедливо при 0 180 . Если обе части тождества 1 разделить на cos 2 , то с учётом того, что sin / cos = tg , получим тождество 2, при 0 90 180 Если обе части тождества 1 разделить на sin 2 , то с учётом того что cos / sin = tg , получим тождество 3 справедливое при 0 180 .

Билет 13. (1) Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом ( АВС). Т: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Д: Рассмотрим вписанный угол АВС, стороны ВА и ВС которого лежат по разные стороны от луча ВО, проходящего через центр окружности. Пусть D – точка пересечения луча ВО с окружностью. Дуги А D и DC меньше полуокружности, поэтому ими измеряются центральные углы AOD и DOC : AOD = AD , DOC = DC . Треугольник АОВ – равнобедренный по построению, откуда 1= 2. Поскольку AOD – внешний угол АОВ, то AOD = 1+ 2. Следовательно, 2=½ AOD =½ AD . Аналогично доказывается, что 4=½ DC . Значит АВС= 2+ 4= ½ AD +½ DC =½ AC . В случае иного расположения сторон угла АВС доказательство аналогично.

Теорема доказана. (2). Площадь S параллелограмма ABCD с основанием AD и высотой ВЕ ( BE ^ AD ) выражается формулой S = AD • BE . Опустим перпендикуляр CF на продолжение основания AD .Получим прямоугольник BCFE . Прямоугольные треугольники АВЕ и DCF равны по гипотенузе и острому углу ( AB = DC как противоположные стороны параллелограмма, ВАЕ= CDF как соответственные углы при параллельных прямых AB и DC и секущей AD ). Параллелограмм ABCD составлен из трапеции BCDE и треугольника АВЕ; прямоугольник BCFE составлен из той же трапеции и треугольника DCF , равного треугольнику АВЕ. Значит площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника BCFE , то есть S = BC • BE , но так как ВС= AD , то S = AD • BE . Таким образом площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.

Билет15. (1) Т: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Д: Пусть на прямой 1 отложены равные отрезки А 1 А 2 ; А 2 А 3…… и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l 2 в точках В 1 , В 2 , B 3 ,…. Докажем, что В 1 В 2 =В 2 В 3 =… два Рассмотрим два случаяпрямые l 1 и l 2 параллельны и прямые l 1 и l 2 не параллельны. А)Пусть l 1 l 2 . Докажем, что В 1 В 2 = В 2 В 3 . Четырёхугольники А 1 В 1 В 2 А 2 и А 2 В 2 В 3 А 3 –параллелограммы по определению, поэтому А 1 А 2 =В 1 В 2 ,А 2 А 3 =В 2 В 3 .Поскольку А 1 А 2 =А 2 А 3, то В 1 В 2 =В 2 В 3 . Б).Пусть l 2 l 1 . Для доказательства равенства отрезков В 1 В 2 и В 2 В 3 проведём через точку В 1 прямую l 3, параллельную прямой l 1 ,которая пересечёт прямые А 2 В 2 и А 3 В 3 в точках C и D соответственно. По доказанному в пункте А) В 1 С=С D .Через точку D проведём прямую l 4, параллельную l 2, которая пересечёт прямую А 2 В 2 в точке Е. Треугольники С В 2 В 1 и CDE равны по второму признаку равенства треугольников (В 1 С= CD по доказанному, В 1 СВ 2 = DCE как вертикальные, СВ 1 В 2 = CDE как накрест лежащие углы при параллельных прямых l 2 и l 4 и секущей l 3 ). Следовательно, В 1 В 2 =Е D . Но ED =В 2 В 3 . Теорема доказана. (2) Две точки А 1 и А 2 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.

Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе относительно прямой а.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки А фигуры симметричная ей точка А 1 относительно прямой а, также принадлежит фигуре.

Прямая а называется осью симметрии фигуры. А) равнобедренный (не равносторонний) треугольник - одна ось симметрии; б) равносторонний треугольниктри оси симметрии; в) прямоугольник (не квадрат)-две оси симметрии; г) ромб (не квадрат)- две оси симметрии; д ) квадрат – четыре оси симметрии; е)окружностьбесконечное множество осей симметрии.

Билет 17. (1). Т: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Д: Рассмотрим АВС, в котором стороны обозначены следующим образом: АВ=с,ВС=а , СА= b . Докажем, что ( a / sinA )=( b / sinB )=( c / sinC ) Выразим площадь S треугольника ABC : S =½ ab sin C , S =½ ac sin B , S =½ bc sin A . Приравнивая части первых двух равенств, получаем ½ ab sin C =½ ac sin B или b sin C = c sinB , откуда ( b / sinB )=( c / sinC ), аналогично, приравнивая правые части второго и третьего равенств, получаем ( a / sinA )=( b / sinB ). Окончательно имеем ( a / sinA )=( b / sinB )=( c / sinC ). Теорема доказана. (2). Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярна к нему.

Свойство серединного перпендикуляра формулируется в виде теоремы. Т: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре. Д: На рисунке l - серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О - середина отрезка АВ. а) Докажем первое утверждение теоремы. Для этого на прямой l выберем произвольную точку М и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то равенство верно, так как Точка О - середина отрезка АВ. Пусть точки М и О не совпадают.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АМО и ВМО: АМО= ВМО по двум катетам (МО - общий катет, АО=ВО по условию). Отсюда следует, что АМ=ВМ. б) Докажем второе утверждение теоремы.

Рассмотрим произвольную точку N , равноудалённую от концов отрезка AB . Докажем что она лежит на серединном перпендикуляре l . Если точка N лежит на отрезке AB , то она является серединой этого отрезка, значит лежит на прямой l . Пусть точка N расположена вне отрезка AB так, что NA = NB . Рассмотрим равнобедренный треугольник ANB . Отрезок NO является медианой (точка O – середина отрезка AB ), а следовательно и высотой этого треугольника, значит NO ^ AB , откуда следует что прямая NO совпадает с серединным перпендикуляром l . Таким образом точка N лежит на прямой l . Т: доказана.

Билет 19. (1) Первый признак подобия треугольников формулируется в виде теоремы. Т: Если два угла одного соответственно равны двум углам другого, то такие - ки подобны. Д: Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , B = B 1 . Докажем, что ABC подобен A 1 B 1 C 1 . Найдём углы С и С 1 : С= 180 -( A + B ), С 1 = 180 -( A 1 + B 1 ). В силу равенства углов A и A 1 , а также B и B 1 C = C 1 . По теореме об отношении прощадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем ( S )/( S 1 )=( AB • AC )/( A 1 B 1 • A 1 C 1 )=( AB • BC )/( A 1 B 1 • B 1 C 1 )= ( BC • AC )/( B 1 C 1 • A 1 C 1 ). Символами S и S 1 обозначены площади треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно. Из второго равенства следует, что ( AC )/( A 1 C 1 )=( BC )/( B 1 C 1 ), а из третьего: ( AB )/( A 1 B 1 )=( AC )/( A 1 C 1 ). Сопоставляя полученные результаты, делаем вывод, что ( AB )/( A 1 B 1 )=( BC )/( B 1 C 1 )=( AC )/( A 1 C 1 ), т.е. сходственные стороны данных -ков пропорциональны.

Следовательно, ABC подобен A 1 B 1 C 1 . Т: Если угол одного равен углу другого , то площади этих -ков относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. (2) Для того, чтобы построить середину данного отрезка AB с помощью циркуля и линейки, построим две окружности с центрами A и B радиуса AB . Они пересекутся в точках K и L . Соединим эти точки. Точка M пересечения отрезков KL и AB и будет серединой отрезка AB . Докажем это.

Построим треугольники AKL и BKL . Они равны по 3-му признаку равенства -ков ( AK = BK , AL = BL , KL – общая сторона). Отсюда следует, что AKM = BKM . Значит KM – биссектриса равнобедренного треугольника AKB , следовательно, является его медианой, поэтому AM = MB , т.е. точка M – середина отрезка AB . Построенные окружности не обязательно должны иметь радиус, равный AB . Важно, чтобы они пересекались в двух точках, поэтому их радиус должен быть больше, чем ½ AB .0

Билет 21. (1). Третий признак подобия -ков формулируется в виде теоремы. Т : Если 3 стороны одного пропорциональны 3 сторонам другого, то такие - ки подобны. Д : Пусть стороны -ков АВС и А 1 В 1 С 1 пропорциональны: АВ/А 1 В 1 =ВС/В 1 С 1 =АС/А 1 С 1 . Докажем, что АВС ~ А 1 В 1 С 1 .построим АВ 2 С, у которого 1= А 1 , 2= С 1 . - ки АВ 2 С и А 1 В 1 С 1 подобны по 1-ому признаку подобия, значит АВ 2 /А 1 В 1 =В 2 С/В 1 С 1 =АС/А 1 С 1 . сравнивая полученные пропорции с теми, которые даны в условии, получаем АВ=АВ 2 ,ВС=В 2 С. -ки АВС = АВ 2 С по 3-м сторонам, следов. А= 1, но 1= А 1 , значит А= А 1 . Таким образом у -ков АВС и А 1 В 1 С 1 пропорциональны стороны и равны углы заключённые между 2-мя сторонами.

Следов., по 2-му признаку подобия АВС ~ А 1 В 1 С 1 . (2) Пусть дан угол с вершиной в т. А и луч ОМ. Требуется построить угол равный данному так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ. Проведём дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке А. Обозначим точки пересечения окружности со сторонами угла через В и С. Соединим точки В и С отрезком ВС. С помощью циркуля проведём дугу окружности радиуса АВ с центром в точке О. Обозначим точку пересечения её с лучом ОМ буквой D . Из точки D проведём дугу окружности радиуса ВС, которая пересечёт ранее построенную дугу в точке Е. Соединяя точки О, Е и D получим О D Е. Докажем, что ЕО D = А. Рассмотрим - ки АВС и О D Е. Эти - ки равны по 3-му признаку равенства -ков (АВ=О D , АС=ОЕ, ВС= D Е по построению). Поэтому ЕО D = САВ, т.е ЕО D = А.

Билет 23. (1). Выведем уравнение окружности радиуса r с центром в точке С (х 0 ; у 0 ) в прямоугольной декартовой системы координат. Для этого выберем на окружности произвольную точку М с координатами( х ; у).Точка М называется текущей точкой окружности, а её координатытекущими координатами.

Расстояние от произвольной точки М ( х ; у) окружности до её центра С (х 0 ; у 0 ) постоянно и равно r : МС= r или МС 2 = r 2 . Запишем последнее неравенство в координатной форме:(х-х 0 ) 2 +(у –у 0 ) 2 = r 2 . Любая точка, не лежащая на окружности, удалена от центра на расстояние, отличное от r , значит её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Таким образом, полученное уравнение является уравнением окружности радиуса r с центром С. Если центр окружности лежит в начале координат, то её уравнение имеет вид х 2 +у 2 = r 2 . Определение: Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянием от данной точки. (2) Треугольник называется равнобедренным, если 2 его стороны равны. На рисунке равные стороны (АВ=ВС) называются боковыми сторонами, третья сторона АСоснованием равнобедренного - ка . Равнобедренный обладает 2-мя свойствами, которые можно сформулировать в виде теорем. Т (1): В равнобедренном - ке углы при основании равны. Д: Докажем равенство углов А и С в равнобедренном АВС (АВ=ВС). Проведём биссектрису В D АВС. АВ D = СВ D по первому признаку рвенства -ков (АВ=ВС по условию В D - общая сторона, 1= 2, т.к. В D - ,биссектриса угла В). Отсюда следует, что А= С . Т: доказана. Т(2): В равнобедренном - ке биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Д: На рисунке В D является биссектрисой В, противолежащего основанию. ПО доказанному в теореме 1 АВ D = СВ D , откуда следует, что А D = D С, значит В D - медиана, проведенная к основанию. Кроме того из равенства -ков АВ D и СВ D вытекает, что 3= 4. Но эти углы смежные, значит 3+ 4=180°. Из 2-х последних равенств следует, что 3= 4=90°, значит В D - высота, опущенная на основание.

Справедливы 2 следствия из теорем 1: Высота равнобедренного , опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.2: Медиана равнобедренного , проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Определение 1: Отрезок биссектрисы угла , соединяющая вершину с противоположной стороной, называется биссектрисой . 2: отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, называется медианой . 3: Перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону, называется высотой .

Билет 6. (1) Т: Сумма углов выпуклого пугольника равна (п-2)• 180 . Д: Соединим вершину А 1 п-угольника диагоналями с его другими вершинами. В результате получим п-2 треугольника. На рисунке выпуклый шестиугольник разбит тремя диагоналями А 1 А 3 ; А 1 А 4 ; А 1 А 5 на четыре треугольника. Сумма углов п-угольника равна сумме всех углов полученных треугольников, т.е(п-2)• 180 .Теорема доказана.

Пример: (6-2)• 180 =4• 180 = 720 . (2). Выведем формулу для длины l окружности радиуса R : l =2 R . При этом под длиной l окружности будем понимать предел, к которому стремится периметр Р п правильного п-угольника , вписанного в окружность при неограниченном увеличении числа п его сторон. Это записывается так: Р п ––––––– l . n Таким образом, чем больше число сторон такого п-угольника , тем ближе его периметр к длине окружности.

Рассмотрим две окружности, радиусы которых R и R 1 , а длины l и l 1 . В каждую из них впишем правильный пугольник и обозначим через Р п и Р п 1 их периметры, а через а п и а п 1 длины сторон. Тогда, Р п 1 =п•а п 1 =п•2 R 1 sin ( 180 / n ). Здесь использована формула, выражающая стороны a n правильного n -угольника, вписанного в окружность, через радиус R окружности.

Отсюда следует ( P n / P n ’ )=(2 R /2 R ’ ), что справедливо при любом n . При неограниченном увеличении числа сторон n -угольника ( n ) получим P n / P n ’ l / l ’ n . При этом отношение 2 R /2 R ’ остаётся неизменным.

Следовательно, l / l ’ =2 R /2 R ’ или l /2 R = l ’ /2 R ’ таким образом отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой . Из равенства l /2 R = следует, что l =2 R – формула длины окружности.

Билет 4. (1) Существуют 3 признака параллельности двух прямых: 1) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Прямые a и b пересечены прямой. Если выполняется хотя бы одно их следующих условий: 1= 7; 2= 8; 4= 6; 3= 5, то согласно признаку 1, прямые a b . 2) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если выполняются хотя бы одно из условий: 1= 5; 2= 6; 4= 8; 3= 7, то по признаку 2 прямые a b . 3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 , то прямые параллельны. Если выполняется хотя бы одно из условий 4+ 5= 180 ; 3+ 6= 180 ; 1+ 8= 180 ; 2+ 7= 180 , то по признаку 3 прямые параллельны a b . Докажем 3-ий признак: пусть прямые a и b пересекаются прямой с в точках A и B . Докажем что 3+ 6= 180 следует параллельность прямых.

Отметим что 4+ 3= 180 , так как 3 и 4 смежные, откуда 4= 6. Разделим отрезок AB пополам точкой O и проведём через эту точку отрезок CD , перпендикулярный прямой a и пересекающий прямые a и b в точках C и D соответственно. AOC = BOD по стороне и двум прилежащим к ней углам ( AO = BO по построению, 4= 6 по доказанному, COA = DOB , как вертикальные). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: BDO = ACO = 90 (так как CD ^ a ). Значит отрезок CD ^ b . Таким образом a ^ CD и b ^ CD , то есть прямые a и b перпендикулярны третьей прямой, а значит не пересекаются.

Прямые a и b параллельны. (2) Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Эта данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром, называется радиусом. Все радиусы имеют одну и ту же длину.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется диаметром.

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу.

Существует 3 случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом r окружности и расстоянием d прямой от центра окружности. 1) d r . Если расстояние от центра окружности до прямой d = r . Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют единственную общую точку. 3) d > r . Если расстояние от центра окружности до прямой > радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Свойство: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

Билет 2. (1) Второй признак равенства по стороне и двум прилежащим к ней углам формулируется в виде теоремы. Т: Если сторона и два прилежащие к ней угла одного соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого , то такие треугольники равны. Д: Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , A = A 1 , B = B 1 . Наложим треугольник ABC на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1 , сторона AB – со стороной A 1 B 1 , а вершины C и C 1 оказались по одну сторону со стороны A 1 B 1 . Поскольку A = A 1 , B = B 1 , то сторона AC наложится на сторону A 1 C 1 , а сторона BC – на B 1 C 1 . Вершина C общая точка сторон AC и BC окажется как на стороне A 1 C 1 так и на стороне B 1 C 1 , т.е. совместится с общей точкой этих сторон C 1 . Значит стороны AC и A 1 C 1 , BC и B 1 C 1 совместятся, следовательно, и совместятся треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 . Отсюда следует, что они равны: ABC = A 1 B 1 C 1 . (2) Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого A = B = C = D = 90 . Согласно определению этот параллелограмм – прямоугольник. Для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма: 1) Противоположные стороны и углы прямоугольника равны. 2) Диагонали точкой пересечения делятся пополам. 3) Диагонали прямоугольника равны.

Действительно из равенства двух прямоугольных треугольников ABD и DCA по двум катетам ( AB = DC как противоположные стороны параллелограмма, AD – общий катет) следует равенство гипотенуз: AC = BD справедливо и обратное утверждение которое является признаком прямоугольника.

Признак: если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник.

Билет 12. (1) Окружность называется вписанной в -к , если стороны - ка касаются окружности. Т: В любой -к можно вписать окружность . Д: На рисунке АВС,АО,ВО,СО – биссектрисы его углов, которые пересекаются в точке О.Из точки О проведём перпендикуляры О D , OE и OF к сторонам - ка .Докажем, что они равны.

Прямоугольные треугольники АО D и AOF равны по гипотенузе и острому углу (АОобщая сторона, AOD = OAF , так как АОбиссектриса). Отсюда следует, что OD = OF . Аналогично доказываются равенства OD = OE , OE = OF . Следовательно, OD = OE = OF .Таким образом, точка О равноудалена от сторон - ка . Окружность с центром в точке О и радиусом, равным OD , касается всех сторон - ка , то есть является вписанной окружностью. Т: доказана. (2) Площадь S трапеции ABCD с высотой ВЕ выражается формулой S =½( BC + AD )• BE , то есть площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Для вывода этой формулы на продолжении отрезка AD отложим отрезок DF равный ВС ( DF = BC ) и соединим точки В и F . При этом отрезок BF пересечёт сторону CD в точке G . ВС G и FDG равны по второму признаку (ВС= DF , CBG = DFG , BCG = FDG как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AF и секущих BF и CD соответственно). Из равенства треугольников следует равенство их площадей.

Значит площадь S трапеции равна площади ABF , имеющего ту же высоту ВЕ, что и трапеция.

Следовательно, S =½ AF • BE =½( AD + DF )• BE . Так как ВС= DF ,окончательно получаем S =½( BC + AD )• BE . C войства площади трапеции: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2)если фигура состоит из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур.

Билет 10. (1). Т: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Д : На рисунке трапеция АВС D и её средняя линия М N (АМ=МВ, DN = NC ).Через середину N стороны С D и через вершину В проведём прямую, которая пересечет продолжение основания А D в некоторой точке Е. ВС N и Е DN равны по второму признаку ( NC = DN по условию, В NC = Е ND как вертикальные, ВС N = Е DN как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и А D и секущей С D ). Из равенства -ков следует равенство сторон: ВС=Е D , В N = EN . Следовательно, М N средняя линия АВЕ, а значит М N AE и М N =½ AE =½( AD + ED )=½( AD =ВС). Т:доказана.

Определение : Средней линией трапеции называется отрезок соединяющий середины её боковых сторон. (2) Рассмотрим АВС, стороны которого обозначены: АВ=с , АС= b , ВС=а , высота А P , опущенная на сторону ВС обозначена h а. . Тогда площадь АВС может быть найдена по одной из формул: (1) S =½ h a • a ; (2) S =½ ab sinC ; 3) S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) В формуле (3), которая называется формулой Герона, символом p обозначен полупериметр: p =½ ( a + b + c ). Можно выписать формулы, аналогичные (1) и (2), в которых использованы другие стороны, высоты и углы.

Выведем формулу (1). Для этого дополним ABC до параллелограмма ABCD . Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и ACD . ABC и ACD равны по 3-му признаку ( AC – общая сторона, AB = CD , BC = DA , как противоположные стороны параллелограмма), следовательно, равны их площади.

Значит площадь параллелограмма равна удвоенной площади ABC . С другой стороны площадь параллелограмма равна AP • BC = h a • a , так как высота параллелограмма совпадает с высотой ABC . Отсюда, 2 S= h a •a или S=½h a •a .

Билет 8. (1) Т: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Д: Рассмотрим произвольный АВС. На продолжении стороны АС отложим отрезок С D = ВС и построим ВС D , который является равнобедренным, откуда СВ D = С D В. В АВ D АВ D > СВ D , следовательно АВ D > А D В. Так как в против большего угла лежит большая сторона, то А D >АВ, но А D =АС+С D =АС+СВ, поэтому АС+СВ>АВ или АВ АС+СВ.Анологично доказываются неравенства АС п-угольник а п выражается по формуле r =( a n )/(2 tg •( 180 / n )) Для вывода этой формулы разделим правильный n -угольник, описанный около окружности на n -треугольников отрезками, соединяющими центр окружности с вершинами n -угольника.

Рассмотрим один из таких треугольников, например, треугольник A 1 OA 2 . По следствию из теоремы об окружности, вписанной в правильный n -угольник, окружность касается сторон n -угольника в их серединах.

Следовательно, радиус OB , проведённый из центра O в точку касания, делит сторону A 1 A 2 пополам, то есть A 1 B = BA 2 = a n /2, где а сторона правильного n -угольника.

Поэтому высота OB треугольника A 1 OA 2 является и его медианой, значит треугольник A 1 OA 2 – равнобедренный.

Отсюда следует, что OB делит угол A 1 OA 2 пополам, т.е. угол A 1 OB =½ улга A 1 OA 2 . А поскольку угол A 1 OA 2 =360°/ n . Для прямоугольного треугольника A 1 BO справедливо соотношение A 1 B / BO = tg A 1 OB или an /2 r = tg 180°/ n . Отсюда получаем r =( a n )/(2 tg •( 180 / n )) Определение: Окружностью называется вписанной в многоугольник, если все стороны этого многоугольника касаются окружности. Т: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и при том только одну.

Билет 18. (1) Т: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Д: Рассмотрим АВС и введём три вектора АВ, АС и ВС . По правилу сложения векторов АВ=ВС=АС, откуда ВС=АС-АВ. Найдём скалярное произведение вектора самого на себя (скалярный квадрат): ВС 2 =(АС-АВ) 2 или ВС 2 =АС 2 +АВ 2 -2АС•АВ. По свойствам скалярного произведения имеем ВС 2 =АС 2 +АВ 2 -2АС•АВ• cosA . Введём обозначения - ка АВС: ВС=а , АС= b , АВ=с . Окончательно получим а 2 = b 2 + c 2 -2 bc cosA . Т: доказана. (2) Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла называется биссектрисой угла.

Биссектриса обладает свойством, которое можно сформулировать в виде теоремы. Т: Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Д: 1)На биссектрисе угла АВС возьмём произвольную точку М, проведём перпендикуляры МК и М L к прямым АВ и ВС и докажем, что МК=М L . Рассмотрим прямоугольные треугольники МКВ и М LB . Они равны ( МКВ= MLB ) по гипотенузе (МВ – общая гипотенуза) и острому углу ( 1= 2, так как МВ – биссектриса.

Следовательно, МК=М L . 2) Пусть точка М лежит внутри угла АВС и равноудалена от его сторон, то есть МК=М L , где МК ^ АВ, ML ^ BC . Докажем, что луч МВ – биссектриса угла АВС. Прямоугольные треугольники МКВ и М L В равны по гипотенузе и катету (МВ – общая гипотенуза, МК=М L по условию), отсюда 1= 2. Следовательно, МВ – биссектриса угла АВС. Т: доказана.

Билет 16. (1) Т: В прямоугольном квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ( пифагогра ). Д: Рассмотрим прямоугольный АВС с катетами а и b и гипотенузой с. С помощью равных ему прямоугольных -ков построим квадрат расположив треугольники так как и на рисунке.

Сторона квадрата равна а+ b , следовательно площадь S =( a + b ) 2 . С другой стороны этот квадрат состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь которых равна 4•½ ab =2 ab и квадрата со стороной с.

Площадь которого равна с 2 . Таким образом площадь S =2а b + c 2 . Приравниваем полученые выражения ( a + b ) 2 =2 ab + c 2 ;а 2 +2 ab + b 2 =2 ab + c 2 ;с 2 = a 2 + b 2 . Т: доказана.

Справедлива теорема, обратная теореме Пифагора Т: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. С помощью этой теоремы, зная стороны треугольника, можно определять является ли он прямоугольным.(2). Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если точка Осередина отрезка АА 1 . Точка О считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О так же принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Поэтому о симметричной фигуре относительно точки О можно сказать, что она обладает центральной симметрией.

Фигуры обладающие центральной симметрией это: а) окружность(центр симметриицентр окружности;б ) параллеограмм ( центрсимметрии - точка пересечение диагоналей).Фигуры F и F 1 называются симметричными относительно точки О. При таком преобразовании не меняются расстояния между точками, поэтому преобразование симметрии является движением.

Билет 14. (1) Признак 1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Признак 2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Признак 3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Докажем второй признак. Д: Пусть в четырёхугольнике АВС D АВ= DC , AD = BC Докажем, что АВС D – параллелограмм. Для этого проведём диагональ АС и рассмотрим АВС и С D А. АВС= С D А по третьему признаку равенства треугольников (А D = BC , AB = DC , AC – общая сторона). Отсюда 1= 2, 3= 4. Но 1 и 2 – накрест лежащие углы при прямых ВС и А D и секущей АС. Значит ВС AD ; 3 и 4 – накрест лежащие углы при прямых АВ и DC и секущей АС, значит АВ DC . Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника АВС D попарно параллельны, следовательно, АВС D – параллелограмм.

Признак доказан. (2) Параллельным переносом на вектор а называется такое преобразование фигуры F , при котором каждая её точка М переходит в точку М 1 , такую что вектор ММ 1 равен вектору а:ММ 1 =а. О сновное свойство параллельного переноса состоит в том, что при параллельном переносе сохраняются расстояния между точками и любая прямая переходит в прямую, параллельную исходной.

Докажем это. Пусть М и N –произвольные точки фигуры F , расстояние между которыми равно MN .При параллельном переносе на вектор а точки М и N переходят в точки М 1 и N 1 соответственно. Так как ММ 1 = NN 1 =а, то ММ 1 = NN 1 и ММ 1 NN 1 .Значит четырёхугольник MM 1 N 1 N -параллелограмм (по первому признаку). Отсюда следует, что, MN = M 1 N 1 и MN M 1 N 1. Из того, что при параллельном переносе сохраняются расстояния между точками, следует, что параллельный перенос есть движение.

Движение бывает: поворот, параллельный перенос, осевая и центральная симметрии.

Билет 24. (1) Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов a и b обозначается так: a • b . По определению a • b = | a |•| b | cos ( a ^ b ), где символом ( a ^ b ) обозначен угол между векторами. Из определения скалярного произведения нетрудно вывести условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тога, когда их скалярное произведение равно нулю.

Действительно, если a ^ b , причём | a | 0, | b | 0, то cos ( a ^ b )= cos 90 =0, значит a • b =0. Обратно, если a • b =0, причём | a | 0, | b | 0, то cos ( a ^ b )=0, значит a ^ b . Легко видеть, что для ненулевых a • b >0 при ( a • b ) 90 , a • b a • b )> 90 . Скалярное произведение вектора самого на себя a • a называется скалярным квадратом и обозначается a 2 . Из определения скалярного произведения следует a 2 = a • a = | a | | a | cos 0= | a | 2 , т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Скалярное произведение обладает свойствами, справедливыми для любых векторов a , b , с и числа k . 1) a 2 0, причём a 2 >0 при | a | 0. 2) a • b = b • a . (переместительный закон). 3) ( a + b ) • c = a • c + b • c (распределительный закон). 4) ( ka )• b = k ( a • b ) (сочетательный закон). (2) Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. На рисунке углы 1 и 3, а также 2 и 4 – вертикальные.

Вертикальные углы обладают следующим свойством.

Свойство.

Вертикальные углы равны.

Действительно, углы 1 и 2, а также 2 и 3 – смежные, значит 1+ 2= 180 , 2+ 3= 180 , откуда 1= 180 - 2, 3= 180 - 2, т.е. 1= 3. Аналогично доказывается, что 2= 4. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными (углы 1 и 2 на рисунке). Сумма смежных углов равна 180 .

Билет 22. (1) Чтобы вывести уравнение прямой на плоскости, рассмотрим следующую задачу: в прямоугольной декартовой системе координат найти уравнение такой прямой l , которая равноудалена от двух точек A ( x 1 ; y 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ), т.е. является серединным перпендикуляром к отрезку AB . Выберем произвольную точку M ( x ; y ), лежащую на прямой l . Такая точка называется текущей точкой прямой l , а её координаты – текущими координатами.

Согласно условию задачи, AM = BM или AM 2 = BM 2 . Выразим в координатной форме левую и правую части последнего равенства: ( x - x 1 ) 2 +( y - y 1 ) 2 =( x - x 2 ) 2 +( y - y 2 ) 2 . Преобразуем полученное уравнение x 2 -2 xx 1 + x 1 2 + y 2 -2 yy 1 + y 1 2 = x 2 -2 xx 2 + x 2 2 + y 2 -2 yy 2 + y 2 2 ; 2•( x 2 - x 1 )• x +2( y 2 - y 1 )• y + x 1 2 - x 2 2 + y 1 2 - y 2 2 =0. Отметим, что x 1 , y 1 , x 2 , y 2 – это числа, поэтому введём обозначения ( x 2 - x 1 )= a ; 2( y 2 - y 1 )= b ; x 1 2 - x 2 2 + y 1 2 - y 2 2 = c . Тогда уравнение примет вид ax + by + c =0. Это и есть уравнение прямой. 1) Если a =0, т.е. x 1 = x 2 , то уравнение примет вид by + c =0 или y = y 0 , где y 0 =- c / b ; в этом случае прямая параллельна оси Ox . 2) Если b =0, т.е. y 1 = y 2 , то уравнение примет вид ax + c =0 или x = x 0 , где x 0 =- c / a ; в этом случае прямая параллельна оси Oy . 3) Если с=0, то уравнение примет вид ax + by =0; в этом случае прямая проходит через начало координат. (2) Две пересекающиеся прямые на плоскости образуют 4 угла. Если один из углов прямой, то использованием свойств смежных и вертикальных углов можно доказать, что и остальные углы прямые. Две пересекающие прямые называются перпендикулярными, если они образуют 4 прямых угла.

независимая экспертиза после залива в Орле
центр экспертизы автомобилей в Брянске
оценка стоимости товарного знака в Смоленске