Экзаменационные билеты по геометрии (9 класс, шпаргалка)

Доказать: BO = OD и AO = OC . Д-во : AOB = COD по стороне и двум прилежащим к ней углам ( AB = DC как противоположные стороны параллелограмма, ABO = CDO , BAO = DCO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DC и секущих BD и AC ). Поэтому BO = OD , AO = OC , ч.т.д.

Признаки параллелограмма: 1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. 2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм. 3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он параллелограмм. Билет 3. (1) Третий признак равенства треугольников по трем сторонам формулируется в виде теоремы. Т: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Д: Пусть ABC и A 1 B 1 C 1 – треугольники, у которых AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 . Наложим ABC на A 1 B 1 C 1 так, чтобы их стороны AC и A 1 C 1 совместились, а вершины B и B 1 оказались по одну сторону от A 1 C 1 . Предположим, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 не равны, тогда они не совместятся, это значит, что вершина B не совместится с вершиной B 1 . Соединим точки B 1 и B отрезком и найдём середину этого отрезка.

Треугольники B 1 BA 1 и B 1 BC 1 – равнобедренные треугольники ( A 1 B 1 = A 1 B и С 1 B 1 = C 1 B ) с общим основанием B 1 B . Отрезки A 1 D и C 1 D не совпадают, потому что точки A 1 , C 1 и D не лежат на одной прямой, то оказалось, что через точку D прямой B 1 B проведены две разные прямые, перпендикулярные к B 1 B . Это противоречит теореме, согласно которой через каждую точку прямой можно провести лишь одну перпендикулярную ей прямую. Это противоречие доказывает теорему. (2) Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого AB = BC = CD = DA . По определению этот параллелограмм – ромб.

Поскольку ромб – параллелограмм, для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма. Но существует и особое свойство ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. В равнобедренном ABD ( AB = AD , так как ABCD – ромб) BO = OD по свойству диагонали параллелограмма, следовательно, AO – медиана, а значит и высота, и биссектриса ABD . Отсюда AO ^ BD , BAO = DOA . Обратные утверждения являются признаками ромба: 1) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб 2) Если диагональ параллелограмма делит его углы пополам, то этот параллелограмм ромб. Билет 5. (1) Т: Сумма углов треугольника равна 180 . Д: Докажем, что для произвольного АВС справедливо соотношение А+ В+ С= 180 . Через вершину В проведём прямую а, параллельную стороне АС, и введём в рассмотрение углы, образованные этой прямой со сторонами АВ и ВС: 1 и 2.Углы 1 и А – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых а и АС, и секущей АВ, поэтому 1= А. Углы 2 и С – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых а и АС и секущей ВС, поэтому 2= С. Сумма углов 1,В и 2 равна развёрнутому углу, значит 1+ В+ 2= 180 . В силу полученных равенств будем иметь A + B + C = 180 . Теорема доказана. (2) Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная к окружности обладает свойством, которая формулируется в виде теоремы. Т: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Д: Проведём радиус OA окружности, в точку касания.

Докажем, что a ^ OA . Предположим, что это не так. Тогда радиус OA является наклонной, проведённой из точки O к прямой a . Так как перпендикуляр прямой O до прямой меньше радиуса. При этом, согласно первому случаю взаимного расположения прямой и окружности, прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит тому условию, что прямая a – касательная.

Теорема доказана. Из доказанной теоремы является свойство отрезков касательных, проведённых из одной точки.

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. AC=BC ; ACO= BCO. Билет 7. (1) Т: В треугольнике 1) против большей стороны лежит большой угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона. Д: На рисунке изображён АВС, в котором АВ>ВС. Докажем, что С> А. На стороне АВ отложим отрезок BD , равный отрезку ВС, и построим равнобедренный DBC . Равные углы при основании этого треугольника обозначим 1 и 2. Так как точка D лежит между точками A и B (ВD=ВС 1 является частью С, то есть 1 С. Угол 2 внешний угол АDС, поэтому 2> А. Но 1= 2, значит справедливо соотношение А 1= 2 С или С> А.Д: Пусть в АВС С> А. Докажем, что АВ>ВС. Предположим, что это не так. Тогда либо АВ=ВС. В первом случае АВС равнобедренный, а значит С= А. Во втором случае С ВС.Т: доказана. (2) Радиус окружности, описанной около правильно п -угольника со стороной а п выражается по формуле R =( a n )/ (2 sin ( 180 / n )). Для вывода этой формулы разобьём правильный n -угольник на n равных равнобедренных треугольников радиусами, проведёнными из центра в вершину n -угольника.

Рассмотрим один из таких треугольников, например A 1 OA 2 в этом треугольнике A 1 A 2 = a n сторона n -угольника, A 1 O = A 2 O = R – радиус описанной окружности, A 1 OA 2 = 360 / n . Из центра окружности O опустим перпендикуляр OB на отрезок A 1 A 2 : OB ^ A 1 A 2 . Этот перпендикуляр является высотой, медианой и биссектрисой равнобедренного A 1 OA 2 . Поэтому A 1 B = BA 2 = a n /2; A 1 OB = A 1 OA 2 = 180 / n . В прямоугольном A 1 OB A 1 B / A 1 O = sin A 1 OB или a n /2 R = sin ( 180 / n ) откуда R =( a n )/ (2 sin ( 180 / n )). Определение : окружность называется описанная около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности . Т: Около любого правильного многоугольника (n-угольника) можно описать окружность, и притом только одну. Билет 9. (1) Т: Средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Д: В АВС М N -средняя линия.

Докажем, что М N АС, М N =½ AC .Треугольники МВ N и АВС подобны по первому признаку подобия ( Вобщий угол, ВМ ВА=В N ВС=½), поэтому ВМ N = BAC , MN AC =½. Из последнего равенства следует что MN =½ AC . BMN и BAC – соответственные углы при прямых MN и AC и секущей AB . Из их равенства следует параллельность прямых MN и AC : MN AC . Т: доказана.

Определение: средней линией называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. (2) Площадь S круга радиуса R выражается формулой S = R 2 . Для вывода этой формулы докажем утверждение: Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус: S =½ l • R . Представлен круг радиуса R с центром O , а также 2 правильных n - угольника – вписанный в окружность ( A 1 A 2 … A n ) и описанный около неё ( A 1 ’ A 2 ’ … A n ’ ). Площадь S заключена между площадями S n вписанного и S n ’ описанного n -угольников: S n S S n ’ Площадь вписанного n -угольника выражается формулой S n =½ P n r , где P n – его периметр, r – радиус вписанной в него окружности. Из рассмотрения прямоугольного A 1 BO получаем OB = A 1 O cos A 1 OB или r =К cos 180 / n ( A 1 O = R ; A 1 OB =½ A 1 OA 2 = 180 / n ) Отсюда S n =½ P n Rcos 180 / n . Площадь описанного n -угольника выражается формулой S n ’ =½ P n ’ • R где P n ’ – его периметр. При неограниченном увеличении числа сторон n -угольников ( n ) и в периметре приближаются к длине l окружности. P n l , P n ’ l n n угол 180 / n приближается к 0, а его cos к 1: ( ( cos ( 180 / n ))/( n /( n )) ) l Следовательно, S n ½ l R , S n ’ ½ l R n n Это означает что площадь S круга ограничена с двух сторон последовательностями S n и S n ’ , стремящимися при n к одному и тому же пределу. Этот предел и принимается за площадь круга: S =½ l • R . Заменяя длину окружности l на 2 R получаем S = • R 2 Билет 11. (1) Окружностью, описанной около , называется окружность которая проходит через все вершины . Рассмотрим теорему. Т : около любого можно описать окружность. Д: На рисунке АВС ; ОК, OL и ОМ серединные перпендикуляры к его сторонам.

Докажем, точка О их пересечение равноудалена от вершин А, В и С. Соединим точку О с вершинами и рассмотрим АОК и ВОК: АОК= ВОК по первому признаку равенства треугольников (АК=КВ по условию, ОК - общая сторона ВКО= АКО=90°). Отсюда АО=ВО. Аналогично доказываем, что ВО=СО. Следовательно АО=ВО=СО, т.е точка О равноудалена от вершины АВС. Значит все вершины лежат на окружности с центром в точке О и радиусом, равным ОА. Эта окружность является окружностью, описанной около АВС.Т: доказана. (2) Равенство справедливое при всех допустимых значениях входящих в него в переменных, называется тождеством.

Справедливы следующие тригонометрические тождества: (1) sin 2 + cos 2 =1; (2) 1= tg 2 = 1/ cos 2 ; 3) l + ctg 2 • =1/ sin 2 . Докажем тождество 1. Для этого рассмотрим тригонометрическую окружность, радиус R , который равен 1 ( R =1), а центр O расположен в начале прямоугольной декартовой системы координат Oxy . Отложим острый AOB : AOB = и опустим из точки B , лежащей на окружности, перпендикуляр BC к оси Ox . BC ^ Ox . По определению синуса и косинуса угла альфа имеем. sin = y , sos = x , где x и y координаты точки B . В прямоугольном OBC катеты и гипотенуза выражаются: OC = x = cos ; BC = y = sin , OB = R =1. По теореме Пифагора OC 2 + BC 2 = OB 2 или cos 2 + sin 2 =1. Тождество (1) доказано для случая 0 90 . При = 90 cos =0, sin =1, поэтому тождество справедливо. Для тупого угла = AOB ’ ( 90 180 ). Аналогичные рассуждения проводятся для прямоугольного OB ’ C ’ . Наконец, в случае развёрнутого угла ( = 180 ) cos =-1, sin =0. Тождество 1 справедливо при 0 180 . Если обе части тождества 1 разделить на cos 2 , то с учётом того, что sin / cos = tg , получим тождество 2, при 0 90 180 Если обе части тождества 1 разделить на sin 2 , то с учётом того что cos / sin = tg , получим тождество 3 справедливое при 0 180 . Билет 13. (1) Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом ( АВС). Т: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Д: Рассмотрим вписанный угол АВС, стороны ВА и ВС которого лежат по разные стороны от луча ВО, проходящего через центр окружности. Пусть D – точка пересечения луча ВО с окружностью. Дуги А D и DC меньше полуокружности, поэтому ими измеряются центральные углы AOD и DOC : AOD = AD , DOC = DC . Треугольник АОВ – равнобедренный по построению, откуда 1= 2. Поскольку AOD – внешний угол АОВ, то AOD = 1+ 2. Следовательно, 2=½ AOD =½ AD . Аналогично доказывается, что 4=½ DC . Значит АВС= 2+ 4= ½ AD +½ DC =½ AC . В случае иного расположения сторон угла АВС доказательство аналогично.

Теорема доказана. (2). Площадь S параллелограмма ABCD с основанием AD и высотой ВЕ ( BE ^ AD ) выражается формулой S = AD • BE . Опустим перпендикуляр CF на продолжение основания AD .Получим прямоугольник BCFE . Прямоугольные треугольники АВЕ и DCF равны по гипотенузе и острому углу ( AB = DC как противоположные стороны параллелограмма, ВАЕ= CDF как соответственные углы при параллельных прямых AB и DC и секущей AD ). Параллелограмм ABCD составлен из трапеции BCDE и треугольника АВЕ; прямоугольник BCFE составлен из той же трапеции и треугольника DCF , равного треугольнику АВЕ. Значит площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника BCFE , то есть S = BC • BE , но так как ВС= AD , то S = AD • BE . Таким образом площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Билет15. (1) Т: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Д: Пусть на прямой 1 отложены равные отрезки А 1 А 2 ; А 2 А 3…… и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают прямую l 2 в точках В 1 , В 2 , B 3 ,…. Докажем, что В 1 В 2 =В 2 В 3 =… два Рассмотрим два случаяпрямые l 1 и l 2 параллельны и прямые l 1 и l 2 не параллельны. А)Пусть l 1 l 2 . Докажем, что В 1 В 2 = В 2 В 3 . Четырёхугольники А 1 В 1 В 2 А 2 и А 2 В 2 В 3 А 3 –параллелограммы по определению, поэтому А 1 А 2 =В 1 В 2 ,А 2 А 3 =В 2 В 3 .Поскольку А 1 А 2 =А 2 А 3, то В 1 В 2 =В 2 В 3 . Б).Пусть l 2 l 1 . Для доказательства равенства отрезков В 1 В 2 и В 2 В 3 проведём через точку В 1 прямую l 3, параллельную прямой l 1 ,которая пересечёт прямые А 2 В 2 и А 3 В 3 в точках C и D соответственно. По доказанному в пункте А) В 1 С=С D .Через точку D проведём прямую l 4, параллельную l 2, которая пересечёт прямую А 2 В 2 в точке Е. Треугольники С В 2 В 1 и CDE равны по второму признаку равенства треугольников (В 1 С= CD по доказанному, В 1 СВ 2 = DCE как вертикальные, СВ 1 В 2 = CDE как накрест лежащие углы при параллельных прямых l 2 и l 4 и секущей l 3 ). Следовательно, В 1 В 2 =Е D . Но ED =В 2 В 3 . Теорема доказана. (2) Две точки А 1 и А 2 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.

Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе относительно прямой а.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки А фигуры симметричная ей точка А 1 относительно прямой а, также принадлежит фигуре.

Прямая а называется осью симметрии фигуры. А) равнобедренный (не равносторонний) треугольник - одна ось симметрии; б) равносторонний треугольниктри оси симметрии; в) прямоугольник (не квадрат)-две оси симметрии; г) ромб (не квадрат)- две оси симметрии; д ) квадрат – четыре оси симметрии; е)окружностьбесконечное множество осей симметрии. Билет 17. (1). Т: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Д: Рассмотрим АВС, в котором стороны обозначены следующим образом: АВ=с,ВС=а , СА= b . Докажем, что ( a / sinA )=( b / sinB )=( c / sinC ) Выразим площадь S треугольника ABC : S =½ ab sin C , S =½ ac sin B , S =½ bc sin A . Приравнивая части первых двух равенств, получаем ½ ab sin C =½ ac sin B или b sin C = c sinB , откуда ( b / sinB )=( c / sinC ), аналогично, приравнивая правые части второго и третьего равенств, получаем ( a / sinA )=( b / sinB ). Окончательно имеем ( a / sinA )=( b / sinB )=( c / sinC ). Теорема доказана. (2). Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярна к нему.

Свойство серединного перпендикуляра формулируется в виде теоремы. Т: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре. Д: На рисунке l - серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О - середина отрезка АВ. а) Докажем первое утверждение теоремы. Для этого на прямой l выберем произвольную точку М и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то равенство верно, так как Точка О - середина отрезка АВ. Пусть точки М и О не совпадают.

Рассмотрим прямоугольные треугольники АМО и ВМО: АМО= ВМО по двум катетам (МО - общий катет, АО=ВО по условию). Отсюда следует, что АМ=ВМ. б) Докажем второе утверждение теоремы.

Рассмотрим произвольную точку N , равноудалённую от концов отрезка AB . Докажем что она лежит на серединном перпендикуляре l . Если точка N лежит на отрезке AB , то она является серединой этого отрезка, значит лежит на прямой l . Пусть точка N расположена вне отрезка AB так, что NA = NB . Рассмотрим равнобедренный треугольник ANB . Отрезок NO является медианой (точка O – середина отрезка AB ), а следовательно и высотой этого треугольника, значит NO ^ AB , откуда следует что прямая NO совпадает с серединным перпендикуляром l . Таким образом точка N лежит на прямой l . Т: доказана. Билет 19. (1) Первый признак подобия треугольников формулируется в виде теоремы. Т: Если два угла одного соответственно равны двум углам другого, то такие - ки подобны. Д: Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 A = A 1 , B = B 1 . Докажем, что ABC подобен A 1 B 1 C 1 . Найдём углы С и С 1 : С= 180 -( A + B ), С 1 = 180 -( A 1 + B 1 ). В силу равенства углов A и A 1 , а также B и B 1 C = C 1 . По теореме об отношении прощадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем ( S )/( S 1 )=( AB • AC )/( A 1 B 1 • A 1 C 1 )=( AB • BC )/( A 1 B 1 • B 1 C 1 )= ( BC • AC )/( B 1 C 1 • A 1 C 1 ). Символами S и S 1 обозначены площади треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 соответственно. Из второго равенства следует, что ( AC )/( A 1 C 1 )=( BC )/( B 1 C 1 ), а из третьего: ( AB )/( A 1 B 1 )=( AC )/( A 1 C 1 ). Сопоставляя полученные результаты, делаем вывод, что ( AB )/( A 1 B 1 )=( BC )/( B 1 C 1 )=( AC )/( A 1 C 1 ), т.е. сходственные стороны данных -ков пропорциональны.

Следовательно, ABC подобен A 1 B 1 C 1 . Т: Если угол одного равен углу другого , то площади этих -ков относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. (2) Для того, чтобы построить середину данного отрезка AB с помощью циркуля и линейки, построим две окружности с центрами A и B радиуса AB . Они пересекутся в точках K и L . Соединим эти точки. Точка M пересечения отрезков KL и AB и будет серединой отрезка AB . Докажем это.

Построим треугольники AKL и BKL . Они равны по 3-му признаку равенства -ков ( AK = BK , AL = BL , KL – общая сторона). Отсюда следует, что AKM = BKM . Значит KM – биссектриса равнобедренного треугольника AKB , следовательно, является его медианой, поэтому AM = MB , т.е. точка M – середина отрезка AB . Построенные окружности не обязательно должны иметь радиус, равный AB . Важно, чтобы они пересекались в двух точках, поэтому их радиус должен быть больше, чем ½ AB .0 Билет 21. (1). Третий признак подобия -ков формулируется в виде теоремы. Т : Если 3 стороны одного пропорциональны 3 сторонам другого, то такие - ки подобны. Д : Пусть стороны -ков АВС и А 1 В 1 С 1 пропорциональны: АВ/А 1 В 1 =ВС/В 1 С 1 =АС/А 1 С 1 . Докажем, что АВС ~ А 1 В 1 С 1 .построим АВ 2 С, у которого 1= А 1 , 2= С 1 . - ки АВ 2 С и А 1 В 1 С 1 подобны по 1-ому признаку подобия, значит АВ 2 /А 1 В 1 =В 2 С/В 1 С 1 =АС/А 1 С 1 . сравнивая полученные пропорции с теми, которые даны в условии, получаем АВ=АВ 2 ,ВС=В 2 С. -ки АВС = АВ 2 С по 3-м сторонам, следов. А= 1, но 1= А 1 , значит А= А 1 . Таким образом у -ков АВС и А 1 В 1 С 1 пропорциональны стороны и равны углы заключённые между 2-мя сторонами.

Следов., по 2-му признаку подобия АВС ~ А 1 В 1 С 1 . (2) Пусть дан угол с вершиной в т. А и луч ОМ. Требуется построить угол равный данному так, чтобы одна из его сторон совпала с лучом ОМ. Проведём дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке А. Обозначим точки пересечения окружности со сторонами угла через В и С. Соединим точки В и С отрезком ВС. С помощью циркуля проведём дугу окружности радиуса АВ с центром в точке О. Обозначим точку пересечения её с лучом ОМ буквой D . Из точки D проведём дугу окружности радиуса ВС, которая пересечёт ранее построенную дугу в точке Е. Соединяя точки О, Е и D получим О D Е. Докажем, что ЕО D = А. Рассмотрим - ки АВС и О D Е. Эти - ки равны по 3-му признаку равенства -ков (АВ=О D , АС=ОЕ, ВС= D Е по построению). Поэтому ЕО D = САВ, т.е ЕО D = А. Билет 23. (1). Выведем уравнение окружности радиуса r с центром в точке С (х 0 ; у 0 ) в прямоугольной декартовой системы координат. Для этого выберем на окружности произвольную точку М с координатами( х ; у).Точка М называется текущей точкой окружности, а её координатытекущими координатами.

Расстояние от произвольной точки М ( х ; у) окружности до её центра С (х 0 ; у 0 ) постоянно и равно r : МС= r или МС 2 = r 2 . Запишем последнее неравенство в координатной форме:(х-х 0 ) 2 +(у –у 0 ) 2 = r 2 . Любая точка, не лежащая на окружности, удалена от центра на расстояние, отличное от r , значит её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Таким образом, полученное уравнение является уравнением окружности радиуса r с центром С. Если центр окружности лежит в начале координат, то её уравнение имеет вид х 2 +у 2 = r 2 . Определение: Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянием от данной точки. (2) Треугольник называется равнобедренным, если 2 его стороны равны. На рисунке равные стороны (АВ=ВС) называются боковыми сторонами, третья сторона АСоснованием равнобедренного - ка . Равнобедренный обладает 2-мя свойствами, которые можно сформулировать в виде теорем. Т (1): В равнобедренном - ке углы при основании равны. Д: Докажем равенство углов А и С в равнобедренном АВС (АВ=ВС). Проведём биссектрису В D АВС. АВ D = СВ D по первому признаку рвенства -ков (АВ=ВС по условию В D - общая сторона, 1= 2, т.к. В D - ,биссектриса угла В). Отсюда следует, что А= С . Т: доказана. Т(2): В равнобедренном - ке биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. Д: На рисунке В D является биссектрисой В, противолежащего основанию. ПО доказанному в теореме 1 АВ D = СВ D , откуда следует, что А D = D С, значит В D - медиана, проведенная к основанию. Кроме того из равенства -ков АВ D и СВ D вытекает, что 3= 4. Но эти углы смежные, значит 3+ 4=180°. Из 2-х последних равенств следует, что 3= 4=90°, значит В D - высота, опущенная на основание.

Справедливы 2 следствия из теорем 1: Высота равнобедренного , опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.2: Медиана равнобедренного , проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Определение 1: Отрезок биссектрисы угла , соединяющая вершину с противоположной стороной, называется биссектрисой . 2: отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны, называется медианой . 3: Перпендикуляр, проведенный из вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону, называется высотой . Билет 6. (1) Т: Сумма углов выпуклого пугольника равна (п-2)• 180 . Д: Соединим вершину А 1 п-угольника диагоналями с его другими вершинами. В результате получим п-2 треугольника. На рисунке выпуклый шестиугольник разбит тремя диагоналями А 1 А 3 ; А 1 А 4 ; А 1 А 5 на четыре треугольника. Сумма углов п-угольника равна сумме всех углов полученных треугольников, т.е(п-2)• 180 .Теорема доказана.

Пример: (6-2)• 180 =4• 180 = 720 . (2). Выведем формулу для длины l окружности радиуса R : l =2 R . При этом под длиной l окружности будем понимать предел, к которому стремится периметр Р п правильного п-угольника , вписанного в окружность при неограниченном увеличении числа п его сторон. Это записывается так: Р п ––––––– l . n Таким образом, чем больше число сторон такого п-угольника , тем ближе его периметр к длине окружности.

Рассмотрим две окружности, радиусы которых R и R 1 , а длины l и l 1 . В каждую из них впишем правильный пугольник и обозначим через Р п и Р п 1 их периметры, а через а п и а п 1 длины сторон. Тогда, Р п 1 =п•а п 1 =п•2 R 1 sin ( 180 / n ). Здесь использована формула, выражающая стороны a n правильного n -угольника, вписанного в окружность, через радиус R окружности.

Отсюда следует ( P n / P n ’ )=(2 R /2 R ’ ), что справедливо при любом n . При неограниченном увеличении числа сторон n -угольника ( n ) получим P n / P n ’ l / l ’ n . При этом отношение 2 R /2 R ’ остаётся неизменным.

Следовательно, l / l ’ =2 R /2 R ’ или l /2 R = l ’ /2 R ’ таким образом отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой . Из равенства l /2 R = следует, что l =2 R – формула длины окружности. Билет 4. (1) Существуют 3 признака параллельности двух прямых: 1) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Прямые a и b пересечены прямой. Если выполняется хотя бы одно их следующих условий: 1= 7; 2= 8; 4= 6; 3= 5, то согласно признаку 1, прямые a b . 2) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если выполняются хотя бы одно из условий: 1= 5; 2= 6; 4= 8; 3= 7, то по признаку 2 прямые a b . 3) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 , то прямые параллельны. Если выполняется хотя бы одно из условий 4+ 5= 180 ; 3+ 6= 180 ; 1+ 8= 180 ; 2+ 7= 180 , то по признаку 3 прямые параллельны a b . Докажем 3-ий признак: пусть прямые a и b пересекаются прямой с в точках A и B . Докажем что 3+ 6= 180 следует параллельность прямых.

Отметим что 4+ 3= 180 , так как 3 и 4 смежные, откуда 4= 6. Разделим отрезок AB пополам точкой O и проведём через эту точку отрезок CD , перпендикулярный прямой a и пересекающий прямые a и b в точках C и D соответственно. AOC = BOD по стороне и двум прилежащим к ней углам ( AO = BO по построению, 4= 6 по доказанному, COA = DOB , как вертикальные). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: BDO = ACO = 90 (так как CD ^ a ). Значит отрезок CD ^ b . Таким образом a ^ CD и b ^ CD , то есть прямые a и b перпендикулярны третьей прямой, а значит не пересекаются.

Прямые a и b параллельны. (2) Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Эта данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий любую точку окружности с её центром, называется радиусом. Все радиусы имеют одну и ту же длину.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется диаметром.

Диаметр окружности равен удвоенному радиусу.

Существует 3 случая взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом r окружности и расстоянием d прямой от центра окружности. 1) d r . Если расстояние от центра окружности до прямой d = r . Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют единственную общую точку. 3) d > r . Если расстояние от центра окружности до прямой > радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Свойство: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. Билет 2. (1) Второй признак равенства по стороне и двум прилежащим к ней углам формулируется в виде теоремы. Т: Если сторона и два прилежащие к ней угла одного соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого , то такие треугольники равны. Д: Пусть у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1 , A = A 1 , B = B 1 . Наложим треугольник ABC на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1 , сторона AB – со стороной A 1 B 1 , а вершины C и C 1 оказались по одну сторону со стороны A 1 B 1 . Поскольку A = A 1 , B = B 1 , то сторона AC наложится на сторону A 1 C 1 , а сторона BC – на B 1 C 1 . Вершина C общая точка сторон AC и BC окажется как на стороне A 1 C 1 так и на стороне B 1 C 1 , т.е. совместится с общей точкой этих сторон C 1 . Значит стороны AC и A 1 C 1 , BC и B 1 C 1 совместятся, следовательно, и совместятся треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 . Отсюда следует, что они равны: ABC = A 1 B 1 C 1 . (2) Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. На рисунке изображён параллелограмм ABCD у которого A = B = C = D = 90 . Согласно определению этот параллелограмм – прямоугольник. Для него справедливы все свойства и признаки параллелограмма: 1) Противоположные стороны и углы прямоугольника равны. 2) Диагонали точкой пересечения делятся пополам. 3) Диагонали прямоугольника равны.

Действительно из равенства двух прямоугольных треугольников ABD и DCA по двум катетам ( AB = DC как противоположные стороны параллелограмма, AD – общий катет) следует равенство гипотенуз: AC = BD справедливо и обратное утверждение которое является признаком прямоугольника.

Признак: если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм прямоугольник. Билет 12. (1) Окружность называется вписанной в -к , если стороны - ка касаются окружности. Т: В любой -к можно вписать окружность . Д: На рисунке АВС,АО,ВО,СО – биссектрисы его углов, которые пересекаются в точке О.Из точки О проведём перпендикуляры О D , OE и OF к сторонам - ка .Докажем, что они равны.

Прямоугольные треугольники АО D и AOF равны по гипотенузе и острому углу (АОобщая сторона, AOD = OAF , так как АОбиссектриса). Отсюда следует, что OD = OF . Аналогично доказываются равенства OD = OE , OE = OF . Следовательно, OD = OE = OF .Таким образом, точка О равноудалена от сторон - ка . Окружность с центром в точке О и радиусом, равным OD , касается всех сторон - ка , то есть является вписанной окружностью. Т: доказана. (2) Площадь S трапеции ABCD с высотой ВЕ выражается формулой S =½( BC + AD )• BE , то есть площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Для вывода этой формулы на продолжении отрезка AD отложим отрезок DF равный ВС ( DF = BC ) и соединим точки В и F . При этом отрезок BF пересечёт сторону CD в точке G . ВС G и FDG равны по второму признаку (ВС= DF , CBG = DFG , BCG = FDG как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AF и секущих BF и CD соответственно). Из равенства треугольников следует равенство их площадей.

Значит площадь S трапеции равна площади ABF , имеющего ту же высоту ВЕ, что и трапеция.

Следовательно, S =½ AF • BE =½( AD + DF )• BE . Так как ВС= DF ,окончательно получаем S =½( BC + AD )• BE . C войства площади трапеции: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2)если фигура состоит из нескольких фигур, то её площадь равна сумме площадей этих фигур. Билет 10. (1). Т: Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Д : На рисунке трапеция АВС D и её средняя линия М N (АМ=МВ, DN = NC ).Через середину N стороны С D и через вершину В проведём прямую, которая пересечет продолжение основания А D в некоторой точке Е. ВС N и Е DN равны по второму признаку ( NC = DN по условию, В NC = Е ND как вертикальные, ВС N = Е DN как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и А D и секущей С D ). Из равенства -ков следует равенство сторон: ВС=Е D , В N = EN . Следовательно, М N средняя линия АВЕ, а значит М N AE и М N =½ AE =½( AD + ED )=½( AD =ВС). Т:доказана.

Определение : Средней линией трапеции называется отрезок соединяющий середины её боковых сторон. (2) Рассмотрим АВС, стороны которого обозначены: АВ=с , АС= b , ВС=а , высота А P , опущенная на сторону ВС обозначена h а. . Тогда площадь АВС может быть найдена по одной из формул: (1) S =½ h a • a ; (2) S =½ ab sinC ; 3) S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) В формуле (3), которая называется формулой Герона, символом p обозначен полупериметр: p =½ ( a + b + c ). Можно выписать формулы, аналогичные (1) и (2), в которых использованы другие стороны, высоты и углы.

Выведем формулу (1). Для этого дополним ABC до параллелограмма ABCD . Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и ACD . ABC и ACD равны по 3-му признаку ( AC – общая сторона, AB = CD , BC = DA , как противоположные стороны параллелограмма), следовательно, равны их площади.

Значит площадь параллелограмма равна удвоенной площади ABC . С другой стороны площадь параллелограмма равна AP • BC = h a • a , так как высота параллелограмма совпадает с высотой ABC . Отсюда, 2 S= h a •a или S=½h a •a . Билет 8. (1) Т: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Д: Рассмотрим произвольный АВС. На продолжении стороны АС отложим отрезок С D = ВС и построим ВС D , который является равнобедренным, откуда СВ D = С D В. В АВ D АВ D > СВ D , следовательно АВ D > А D В. Так как в против большего угла лежит большая сторона, то А D >АВ, но А D =АС+С D =АС+СВ, поэтому АС+СВ>АВ или АВ АС+СВ.Анологично доказываются неравенства АС п-угольник а п выражается по формуле r =( a n )/(2 tg •( 180 / n )) Для вывода этой формулы разделим правильный n -угольник, описанный около окружности на n -треугольников отрезками, соединяющими центр окружности с вершинами n -угольника.

Рассмотрим один из таких треугольников, например, треугольник A 1 OA 2 . По следствию из теоремы об окружности, вписанной в правильный n -угольник, окружность касается сторон n -угольника в их серединах.

Следовательно, радиус OB , проведённый из центра O в точку касания, делит сторону A 1 A 2 пополам, то есть A 1 B = BA 2 = a n /2, где а сторона правильного n -угольника.

Поэтому высота OB треугольника A 1 OA 2 является и его медианой, значит треугольник A 1 OA 2 – равнобедренный.

Отсюда следует, что OB делит угол A 1 OA 2 пополам, т.е. угол A 1 OB =½ улга A 1 OA 2 . А поскольку угол A 1 OA 2 =360°/ n . Для прямоугольного треугольника A 1 BO справедливо соотношение A 1 B / BO = tg A 1 OB или an /2 r = tg 180°/ n . Отсюда получаем r =( a n )/(2 tg •( 180 / n )) Определение: Окружностью называется вписанной в многоугольник, если все стороны этого многоугольника касаются окружности. Т: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и при том только одну. Билет 18. (1) Т: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Д: Рассмотрим АВС и введём три вектора АВ, АС и ВС . По правилу сложения векторов АВ=ВС=АС, откуда ВС=АС-АВ. Найдём скалярное произведение вектора самого на себя (скалярный квадрат): ВС 2 =(АС-АВ) 2 или ВС 2 =АС 2 +АВ 2 -2АС•АВ. По свойствам скалярного произведения имеем ВС 2 =АС 2 +АВ 2 -2АС•АВ• cosA . Введём обозначения - ка АВС: ВС=а , АС= b , АВ=с . Окончательно получим а 2 = b 2 + c 2 -2 bc cosA . Т: доказана. (2) Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла называется биссектрисой угла.

Биссектриса обладает свойством, которое можно сформулировать в виде теоремы. Т: Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Д: 1)На биссектрисе угла АВС возьмём произвольную точку М, проведём перпендикуляры МК и М L к прямым АВ и ВС и докажем, что МК=М L . Рассмотрим прямоугольные треугольники МКВ и М LB . Они равны ( МКВ= MLB ) по гипотенузе (МВ – общая гипотенуза) и острому углу ( 1= 2, так как МВ – биссектриса.

Следовательно, МК=М L . 2) Пусть точка М лежит внутри угла АВС и равноудалена от его сторон, то есть МК=М L , где МК ^ АВ, ML ^ BC . Докажем, что луч МВ – биссектриса угла АВС. Прямоугольные треугольники МКВ и М L В равны по гипотенузе и катету (МВ – общая гипотенуза, МК=М L по условию), отсюда 1= 2. Следовательно, МВ – биссектриса угла АВС. Т: доказана. Билет 16. (1) Т: В прямоугольном квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ( пифагогра ). Д: Рассмотрим прямоугольный АВС с катетами а и b и гипотенузой с. С помощью равных ему прямоугольных -ков построим квадрат расположив треугольники так как и на рисунке.

Сторона квадрата равна а+ b , следовательно площадь S =( a + b ) 2 . С другой стороны этот квадрат состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников, площадь которых равна 4•½ ab =2 ab и квадрата со стороной с.

Площадь которого равна с 2 . Таким образом площадь S =2а b + c 2 . Приравниваем полученые выражения ( a + b ) 2 =2 ab + c 2 ;а 2 +2 ab + b 2 =2 ab + c 2 ;с 2 = a 2 + b 2 . Т: доказана.

Справедлива теорема, обратная теореме Пифагора Т: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. С помощью этой теоремы, зная стороны треугольника, можно определять является ли он прямоугольным.(2). Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если точка Осередина отрезка АА 1 . Точка О считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О так же принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры.

Поэтому о симметричной фигуре относительно точки О можно сказать, что она обладает центральной симметрией.

Фигуры обладающие центральной симметрией это: а) окружность(центр симметриицентр окружности;б ) параллеограмм ( центрсимметрии - точка пересечение диагоналей).Фигуры F и F 1 называются симметричными относительно точки О. При таком преобразовании не меняются расстояния между точками, поэтому преобразование симметрии является движением. Билет 14. (1) Признак 1. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Признак 2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Признак 3. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Докажем второй признак. Д: Пусть в четырёхугольнике АВС D АВ= DC , AD = BC Докажем, что АВС D – параллелограмм. Для этого проведём диагональ АС и рассмотрим АВС и С D А. АВС= С D А по третьему признаку равенства треугольников (А D = BC , AB = DC , AC – общая сторона). Отсюда 1= 2, 3= 4. Но 1 и 2 – накрест лежащие углы при прямых ВС и А D и секущей АС. Значит ВС AD ; 3 и 4 – накрест лежащие углы при прямых АВ и DC и секущей АС, значит АВ DC . Таким образом, противоположные стороны четырёхугольника АВС D попарно параллельны, следовательно, АВС D – параллелограмм.

Признак доказан. (2) Параллельным переносом на вектор а называется такое преобразование фигуры F , при котором каждая её точка М переходит в точку М 1 , такую что вектор ММ 1 равен вектору а:ММ 1 =а. О сновное свойство параллельного переноса состоит в том, что при параллельном переносе сохраняются расстояния между точками и любая прямая переходит в прямую, параллельную исходной.

Докажем это. Пусть М и N –произвольные точки фигуры F , расстояние между которыми равно MN .При параллельном переносе на вектор а точки М и N переходят в точки М 1 и N 1 соответственно. Так как ММ 1 = NN 1 =а, то ММ 1 = NN 1 и ММ 1 NN 1 .Значит четырёхугольник MM 1 N 1 N -параллелограмм (по первому признаку). Отсюда следует, что, MN = M 1 N 1 и MN M 1 N 1. Из того, что при параллельном переносе сохраняются расстояния между точками, следует, что параллельный перенос есть движение.

Движение бывает: поворот, параллельный перенос, осевая и центральная симметрии. Билет 24. (1) Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их модулей (длин) на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов a и b обозначается так: a • b . По определению a • b = | a |•| b | cos ( a ^ b ), где символом ( a ^ b ) обозначен угол между векторами. Из определения скалярного произведения нетрудно вывести условие перпендикулярности двух ненулевых векторов: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тога, когда их скалярное произведение равно нулю.

Действительно, если a ^ b , причём | a | 0, | b | 0, то cos ( a ^ b )= cos 90 =0, значит a • b =0. Обратно, если a • b =0, причём | a | 0, | b | 0, то cos ( a ^ b )=0, значит a ^ b . Легко видеть, что для ненулевых a • b >0 при ( a • b ) 90 , a • b a • b )> 90 . Скалярное произведение вектора самого на себя a • a называется скалярным квадратом и обозначается a 2 . Из определения скалярного произведения следует a 2 = a • a = | a | | a | cos 0= | a | 2 , т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.

Скалярное произведение обладает свойствами, справедливыми для любых векторов a , b , с и числа k . 1) a 2 0, причём a 2 >0 при | a | 0. 2) a • b = b • a . (переместительный закон). 3) ( a + b ) • c = a • c + b • c (распределительный закон). 4) ( ka )• b = k ( a • b ) (сочетательный закон). (2) Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. На рисунке углы 1 и 3, а также 2 и 4 – вертикальные.

Вертикальные углы обладают следующим свойством.

Свойство.

Вертикальные углы равны.

Действительно, углы 1 и 2, а также 2 и 3 – смежные, значит 1+ 2= 180 , 2+ 3= 180 , откуда 1= 180 - 2, 3= 180 - 2, т.е. 1= 3. Аналогично доказывается, что 2= 4. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными (углы 1 и 2 на рисунке). Сумма смежных углов равна 180 . Билет 22. (1) Чтобы вывести уравнение прямой на плоскости, рассмотрим следующую задачу: в прямоугольной декартовой системе координат найти уравнение такой прямой l , которая равноудалена от двух точек A ( x 1 ; y 1 ) и B ( x 2 ; y 2 ), т.е. является серединным перпендикуляром к отрезку AB . Выберем произвольную точку M ( x ; y ), лежащую на прямой l . Такая точка называется текущей точкой прямой l , а её координаты – текущими координатами.

Согласно условию задачи, AM = BM или AM 2 = BM 2 . Выразим в координатной форме левую и правую части последнего равенства: ( x - x 1 ) 2 +( y - y 1 ) 2 =( x - x 2 ) 2 +( y - y 2 ) 2 . Преобразуем полученное уравнение x 2 -2 xx 1 + x 1 2 + y 2 -2 yy 1 + y 1 2 = x 2 -2 xx 2 + x 2 2 + y 2 -2 yy 2 + y 2 2 ; 2•( x 2 - x 1 )• x +2( y 2 - y 1 )• y + x 1 2 - x 2 2 + y 1 2 - y 2 2 =0. Отметим, что x 1 , y 1 , x 2 , y 2 – это числа, поэтому введём обозначения ( x 2 - x 1 )= a ; 2( y 2 - y 1 )= b ; x 1 2 - x 2 2 + y 1 2 - y 2 2 = c . Тогда уравнение примет вид ax + by + c =0. Это и есть уравнение прямой. 1) Если a =0, т.е. x 1 = x 2 , то уравнение примет вид by + c =0 или y = y 0 , где y 0 =- c / b ; в этом случае прямая параллельна оси Ox . 2) Если b =0, т.е. y 1 = y 2 , то уравнение примет вид ax + c =0 или x = x 0 , где x 0 =- c / a ; в этом случае прямая параллельна оси Oy . 3) Если с=0, то уравнение примет вид ax + by =0; в этом случае прямая проходит через начало координат. (2) Две пересекающиеся прямые на плоскости образуют 4 угла. Если один из углов прямой, то использованием свойств смежных и вертикальных углов можно доказать, что и остальные углы прямые. Две пересекающие прямые называются перпендикулярными, если они образуют 4 прямых угла.

независимая экспертиза после залива в Орле
центр экспертизы автомобилей в Брянске
оценка стоимости товарного знака в Смоленске