Геология

Теория государства и права

Физика

Педагогика

Бухгалтерский учет

Транспорт

Культурология

Радиоэлектроника

Историческая личность

Философия

География, Экономическая география

Охрана природы, Экология, Природопользование

Психология, Общение, Человек

История

Конституционное (государственное) право зарубежных стран

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Гражданская оборона

Менеджмент (Теория управления и организации)

История государства и права зарубежных стран

Программное обеспечение

История отечественного государства и права

Налоговое право

Таможенное право

Технология

Физкультура и Спорт, Здоровье

Литература, Лингвистика

Программирование, Базы данных

Медицина

Материаловедение

Земельное право

Конституционное (государственное) право России

Москвоведение

Сельское хозяйство

Право

Компьютеры, Программирование

Гражданское право

Маркетинг, товароведение, реклама

Астрономия

Иностранные языки

Нероссийское законодательство

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Биология

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Социология

Математика

Экономико-математическое моделирование

Религия

Экономика и Финансы

Искусство

Административное право

Компьютеры и периферийные устройства

Музыка

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Российское предпринимательское право

Астрономия, Авиация, Космонавтика

Трудовое право

Банковское дело и кредитование

Муниципальное право России

Военное дело

Пищевые продукты

Политология, Политистория

Экскурсии и туризм

Криминалистика и криминология

Экологическое право

Физкультура и Спорт

Уголовное и уголовно-исполнительное право

Архитектура

Промышленность и Производство

Компьютерные сети

Банковское право

Военная кафедра

Римское право

Биржевое дело

Ценные бумаги

Прокурорский надзор

Гражданское процессуальное право

Уголовный процесс

Химия

Теория систем управления

Финансовое право

Металлургия

Страховое право

Искусство, Культура, Литература

Законодательство и право

Авиация

История экономических учений

Подобные работы

Исследование кривых и поверхностей второго порядка

echo "Задача Определить зависимость типа данной кривой от параметра b с помощью инвариантов. Привести уравнение кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и

Структура сходящихся последовательностей

echo "Определение: Последовательность {x n }называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x n -а}является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последо

Теория графов. Методические указания по подготовке к контрольным работам по дисциплине «Дискретная математика»

echo "Предназначены для студентов 1 курса направления 654600: Информатика и вычислительная техника, : Защита информации для подготовки к контрольным работам по курсу «Дискретная математика». Табл. 2.

Экзаменационные билеты по геометрии (9 класс, шпаргалка)

echo "Доказать: BO = OD и AO = OC . Д-во : AOB = COD по стороне и двум прилежащим к ней углам ( AB = DC как противоположные стороны параллелограмма, ABO = CDO , BAO = DCO как накрест лежащие углы при

Нестандартный анализ

echo "Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом нес

Численное интегрирование определённых интегралов

echo "Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, 'классические' методы численного интегрирования: метод прямоугольнико

Статистика

echo "Задача 1. Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.: № предприятия Выпуск продукции Прибыль № предприятия Выпу

Билеты по аналитической геометрии

echo "Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. Теорема:

Исследование кривых и поверхностей второго порядка

Задача Определить зависимость типа данной кривой от параметра b с помощью инвариантов.

Привести уравнение кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.

Написать уравнения осей канонической системы координат.

Построить кривую в канонической и общей системах координат.

Исследовать форму данной поверхности методом сечений и построить полученные сечения.

Построить поверхность в канонической системе координат.

Исходные данные Уравнение кривой второго порядка: . Уравнение поверхности второго порядка: Их инварианты и классификация.

Анализ кривой второго порядка Для данного уравнения кривой второго порядка: (1) 1. Определение зависимости типа данной кривой (1) от параметра b с помощью инвариантов Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем: Вычислим инварианты кривой . . . В соответствии с классификацией кривых второго порядка: Если I 2 = 0, то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. Но I 2 = -306-11 b , следовательно, если Если I 2 ¹ 0, то данная кривая – центральная.

Следовательно, при данная кривая – центральная. Если I 2 > 0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа.

Следовательно, если I 1 I 3 = (1- b )(4885 b -306) I 2 > 0, I 1 I 3 Если I 2 Если I 2 I 3 = 0, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

Получим: Следовательно, если Если I 2 I 3 ¹ 0, то данная кривая – гипербола. Но I 3 ¹ 0 при всех за исключением точки

Значение параметра b
Тип кривой Эллипс Парабола Гипербола Две пересекающиеся прямые Гипербола
2. Приведение уравнения кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей При b = 0 уравнение (1) принимает следующий вид: (2) Согласно таблице, это гипербола.

Приведем уравнение кривой (2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Мы установили, что данная кривая – центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. а) Совершим параллельный перенос начала координат в точку x , y произвольной точки М плоскости в системе координат xOy и координаты x ’, y ’ в новой системе координат x ’ O ’ y ’ связаны соотношениями: Подставляя эти выражения для x и y в уравнение (1), получим: Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида В этом уравнении коэффициенты при x ’ и y ’ приравняем к нулю.

Получим систему уравнений относительно которая определяет координаты центра исходной кривой.

Следовательно, - решение данной системы и точка О’(2, 4) – центр данной кривой.

Подставим найденные значения в уравнение (2), получим (3) б) Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол a . При повороте осей координат на угол a координаты x ’, y ’ произвольной точки М плоскости в системе координат х’ O ’ y ’ и координаты Х, Y в новой системе координат XO ’ Y связаны соотношениями: (4) Подставляя (4) в уравнение кривой (3), получим: Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим уравнение вида: (5) Выберем угол a такой, что в уравнении (5) коэффициент при произведении X Y равен нулю: Это требование эквивалентно уравнению: (6) Решая уравнение (6), получим: Tg a = k , k – угловой коэффициент оси О’Х. Он определяется формулой: l 1 – корень характеристического уравнения данной кривой, совпадающий со знаком I 3 . Характеристическое уравнение для данной кривой (1) имеет вид Следовательно, Тогда получим, что tg a найдем sin a и cos a : Подставляя эти значения в уравнение (5), получим: т. е. преобразование уравнения будет иметь вид и, соответственно, уравнение - это каноническое уравнение исходной гиперболы с центром в точке O ’(2, 4) и полуосями и 3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот (если они есть) данной кривой второго порядка Найдем фокусы гиперболы. Ко o рдинаты F 1,2 равны ( ± с, 0), с определяется по формуле: Следовательно, точки и - фокусы данной гиперболы.

Найдем эксцентриситет гиперболы: Найдем директрисы гиперболы: D 1 : D 2 : . Найдем асимптоты гиперболы: . 4. Вывод уравнения осей канонической системы координат Напишем уравнения осей канонической системы координат. Из задания 2 известно, что точка О’(2, 4) – центр данной кривой.

Оттуда же известен угловой коэффициент оси O ’ X XO ’ Y в исходной системе координат xOy . Так как система XO ’ Y – каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой – точке О’(2, 4), т е. оси О’ X и O ’ Y проходят через точку О’. Уравнение прямой, проходящей через данную точку k имеет вид: Следовательно, ось О’ X в системе координат xOy имеет уравнение Так как ось О’ Y перпендикулярна оси О’ X , то ее угловой коэффициент Следовательно, ось О’ Y имеет уравнение или 5. Построение кривой в канонической и общей системах координат На основе полученной информации, нарисуем кривую в канонической и общей системах координат: Рис. 1. Кривая в общей и канонической системах координат. Рис. 2. Кривая в канонической системе координат.

Анализ поверхности второго порядка Для данного уравнения поверхности второго порядка: (7) 1. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений 1) Для того чтобы исследовать поверхность методом сечений, сначала приведем уравнение (7) к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота осей координат.

Совершим параллельный перенос начала координат в точку x , y , z произвольной точки М плоскости в системе координат Oxyz и координаты x ’, y ’, z ’ в новой системе координат O ’ x ’ y ’ z ’ связаны соотношениями: Подставляя эти выражения для x , y , z в уравнение (7), получим: Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида (8) В уравнении (8) коэффициенты при x ,’ y ’, z ’ приравняем к нулю.

Получим систему уравнений относительно , которая определяет координаты центра исходной поверхности.

Следовательно, - решение данной системы и точка – центр данной поверхности.

Подставим найденные значения , в уравнение (8), получим (9) Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол a . При повороте осей координат O ’ Y и O ’ Z на угол a координаты y ’, z ’ произвольной точки М плоскости yOz в системе координат O ’х’ y ’ z ’ и координаты Y , Z в новой системе координат O ’ XYZ связаны соотношениями: (10) Подставляя (10) в уравнение поверхности (9) с последующим раскрытием скобок и приведением подобных членов, получим уравнение вида: (11) Выберем угол a такой, что в уравнении (11) коэффициент при произведении Y Z равен нулю: Получим, что a , решим характеристическое уравнение для эллипса Отсюда вычислим угловой коэффициент поворота осей k : Следовательно, cos a = sin a = ± Подставляя эти значения в уравнение (11), получим: т. е. уравнение (12) – это каноническое уравнение для данной поверхности, которое задает эллипсоид с полуосями и a = b , то эллипсоид называется сплюснутым. 2) Данное каноническое уравнение (12) задает эллипсоид.

Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостями Z = h ( h = const ). Эти линии определяются системой уравнений: Решая эту систему, получаем: (13) где h – любое вещественное число.

Уравнения (13) – это уравнения окружностей с радиусом ½ h ½ , с центрами на оси O ’ Z в точках C (0, 0, h ). Плоскость XO ’ Y ( h =0) пересекает эллипсоид по окружности: Эта окружность будет наибольшей, как видно из выражения радиуса. При получаем уравнение: т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем отрицательное число под корнем, т. е. при таких значениях h плоскость XO ’ Y не пересекает данный эллипсоид. При получаем окружность: Изобразим полученные сечен Рис. 3. Сечение плоскостью Z = h . Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостью X = h : Решая эту систему, получаем: (14) где h – любое вещественное число.

оценка стоимости аренды земельного участка в Туле
оценка квартиры в новостройке в Липецке
оценка стоимости сооружений в Белгороде