Структура сходящихся последовательностей

Определение: Последовательность {x n }называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x n -а}является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {x n }. В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль. Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {x n } называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n ³ N все элементы x n этой последовательности удовлетворяют неравенству: |x n -a| e . При этом число а называется пределом последовательности.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей: ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {x n }. Тогда, используя специальное представление для элементов x n сходящейся последовательности {x n }, получим x n =а+ a n , x n =b+ b n , где a n и b n – элементы бесконечно малых последовательностей { a n } и { b n }. Вычитая данные соотношения, найдем a n - b n =b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности { a n - b n }имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности { a n } равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана. ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {x n }- сходящаяся последовательность и а – ее предел.

Представим ее в следующем виде: x n =а+ a n , где a n - элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность { a n }ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство | a n | А. Поэтому | x n | |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {x n }. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.

Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {x n -a}и {x n+1 -a}являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(x n -a) – (x n+1 -a)}={x n – x n+1 }была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |x n – x n+1 | = 2 для любого номера n. ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {х n }и {y n }есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х n } и {y n }. Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х n }и {y n }. Тогда: x n =а+ a n , y n =b+ b n , где { a n }и { b n ) – бесконечно малые последовательности.

Следовательно, (х n + y n ) - (а + b) = a n + b n . Таким образом, последовательность {(х n + y n ) - (а + b)}бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х n + y n }сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана. ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {х n }и {y n }есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х n }и {y n }. Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х n }и {y n }.Тогда: x n =а+ a n , y n =b+ b n , где { a n }и { b n ) – бесконечно малые последовательности.

Следовательно, (х n - y n ) - (а - b) = a n - b n . Таким образом, последовательность {(х n - y n ) - (а - b)}бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х n - y n }сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана. ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {х n }и {y n }есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х n }и {y n }. Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х n }и {y n }, то x n =а+ a n , y n =b+ b n и x n y n =a b+a b n +b a n + a n b n . Следовательно, x n y n -а b=a b n +b a n + a n b n . (в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a b n +b a n + a n b n }бесконечно малая, и поэтому последовательность {x n y n -а b}тоже бесконечно малая, а значит последовательность {x n y n }сходится и имеет своим пределом число а b. Теорема доказана. ЛЕММА: Если последовательность {y n } сходится и имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность Доказательство: Пусть ¹ 0, то e >0. Пусть N – номер, соответствующий этому e , начиная с которого выполняется неравенство: |y n -b| e или |y n -b| из этого неравенства следует, что при n ³ N выполняется неравенство |y n |> ³ N имеем ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {x n }и {y n }при условии, что предел {y n }отличен от ноля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {x n }и {y n }. Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с некоторого номера N, элементы последовательности {y n } отличны от ноля и последовательность ограничена.

Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последовательность n }и {y n }. Докажем, что последовательность бесконечно малая. В самом деле, так как x n =а+ a n , y n =b+ b n , то Так как последовательность ограничена, а последовательность бесконечно мала, то последовательность бесконечно малая.

Теорема доказана. Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {x n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству x n ³ b (x n b), то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а ³ b (a b). Доказательство: Пусть все элементы x n , по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n ³ b. Предположим, что а n }, то для положительного e =b-a можно указать номер N такой, что при n ³ N выполняется неравенство |x n -a| Это неравенство эквивалентно -(b-a) n -a Используя правое из этих неравенств мы получим x n n b рассматривается аналогично.

Теорема доказана.

Элементы сходящейся последовательности {x n }могут удовлетворять строгому неравенству x n >b, однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если x n =1/n, то x n >0, однако Следствие 1: Если элементы x n и у n у сходящихся последовательностей {x n }и {y n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x n у n , то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству Элементы последовательности {y n -x n }неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {x n }находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте. Это выполняется, так как а x n b, то a c b. ТЕОРЕМА: Пусть {x n }и {z n }- сходящиеся последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y n }удовлетворяют неравенствам x n y n z n . Тогда последовательность {y n }сходится и имеет предел а.

Доказательство: достаточно доказать, что {y n -a} является бесконечно малой.

Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполнятся также неравенства x n -а y n -а z n -а.

Отсюда следует, что при n ³ N’ элементы последовательности {y n -a}удовлетворяют неравенству |y n -a| max {|x n -a|, |z n -a|}. Так как и e >0 можно указать номера N 1 и N 2 такие, что при n ³ N 1 |x n -a| e , а при n ³ N 2 |z n -a| e . Итак последовательность {y n -a} бесконечно малая.

Теорема доказана. Итак, мы показали неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей. ПРИМЕРЫ 1. Последовательность сходится и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было e >0, по свойству Архимеда вещественных чисел существует такое натуральное число n e , что n e > для всех n ³ n e , а это означает, что 2. Последовательность сходится и ЗАДАЧИ ЗАДАЧА № 1 Пусть числовая последовательность а 1 , а 2 , а 3 , … удовлетворяет условию (m, n = 1, 2, 3, … ), тогда последовательность должна либо расходиться к РЕШЕНИЕ: Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя грань a конечна. Пусть e >0 и a + e . Всякое целое число n может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а 0 =0, имеем: a n =a qm+r a m +a m +…+a m +a r =qa m +a r , ЗАДАЧА № 2 Пусть числовая последовательность а 1 , а 2 , а 3 , … удовлетворяет условию тогда существует конечный предел причем (n = 1, 2, 3, … ). РЕШЕНИЕ: Из неравенств 2a m -1 2m m +1 получаем: (*) Ряд сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом: |a 1 |+2 -1 +2 -2 +2 -3 +… запишем целое число n по двоичной системе: n=2 m + e 1 2 m-1 + e 2 2 m-2 +…+ e m ( e 1 , e 2 , …, e m = 0 или 1) согласно предположению Применяя теорему (1) для данных: s 0 =0, s 1 = s m-1 = s m = p n0 =0, p n1 = n, m-1 = p n, m+1 =0, …, заключаем, что ЗАДАЧА № 3 Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup. РЕШЕНИЕ: Нам достаточно рассмотреть случай, когда частичные суммы s 1 , s 2 , …, s n , … ограничены. Пусть целое положительное число, l>2 и Разобьем числовую прямую на l интервалов точками - , m+ d , m+2 d , …, M-2 d , Md , + . Выберем такое N, чтобы для n>N выполнялось неравенство |s n -s n+1 | d . Пусть, далее, s n1 (n 1 >N) лежит в первом интервале и s n2 (n 2 > n 1 ) – в последнем. Тогда числа конечной последовательности не смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной d . Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей». ЗАДАЧА № 4 Пусть для последовательности t 1 , t 2 , … , t n , … существует такая последовательность стремящихся к нулю положительных чисел Тогда числа t 1 , t 2 , … , t n , …лежат всюду плотно между их нижним и верхним пределами. РЕШЕНИЕ: Существуют в сколь угодно большом удалении конечные последовательности ЗАДАЧА № 5 Пусть v 1 , v 2 , … , v n , … - положительные числа, v 1 v 2 v 3 … Совокупность предельных точек последовательности заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу). РЕШЕНИЕ: ЗАДАЧА № 6 Числовая последовательность, стремящаяся к РЕШЕНИЕ: Какое бы число мы ни задали, слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших. ЗАДАЧА № 7 Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой. РЕШЕНИЕ: При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену последовательности. ЗАДАЧА № 8 Пусть l 1 , l 2 , l 3 , … , l m , … - последовательность положительных чисел и n меньше всех предшествующих ему членов последовательности l 1 , l 2 , l 3 , … , l n-1 . РЕШЕНИЕ: Пусть задано целое положительное число m и h – наименьшее из чисел l 1 , l 2 , l 3 , … , l m ; h >0. Согласно предположению в рассматриваемой последовательности существуют члены, меньше чем h . Пусть n – наименьший номер, для которого l n h . Тогда: n>m; l n 1 , l n 2 , …, l n n-1 . ЗАДАЧА № 9 Пусть l 1 , l 2 , l 3 , … , l m , … - последовательность положительных чисел и n превосходит все следующие за ним члены l n+1 , l n+2 , l n+3 ,… ЗАДАЧА № 10 Пусть числовые последовательности l 1 , l 2 , l 3 , … , l m , … (l m >0), s 1 , s 2 , s 3 , … , s m , … (s 1 >0, s m+1 >s m , m=1, 2, 3, …) обладают тем свойством, что Тогда существует бесконечно много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства l n >l n+1 , l n >l n+2 , l n >l n+3 , … l n s n >l n-1 s n-1, l n s n >l n-2 s n-2, … l n s n >l 1 s 1, РЕШЕНИЕ: Будем называть l m «выступающим» членом последовательности, если l m больше всех последующих членов.