Шпаргалка (математика)

Ломаной, когда число звеньев неогранич-о растет, а длина max звена стремится к 0. При оч. мал. х: dl = [( dx ) 2 + ( dy ) 2 ] = [( dx ) 2 +( y ’ x ) 2 + ( dx ) 2 ] = [1+( y ’ x ) 2 ] dx l дуги ab = a b [1+( y ’ x ) 2 ] dx – формула д/вычисл. длины дуги. №20 { x = ( t ) { y = ( t ) dx = ’( t ) dt dy = ’( t ) dt l дуги ab = [ ( ’( t )) 2 + ( ’( t )) 2 ] dt №21 { x = cos { y = sin dx = ( ’ cos – sin ) d dy = ( ’ sin + cos ) d ( dx ) 2 = ( ’ 2 cos 2 – 2 ’ cos sin + 2 sin 2 ) ( dy ) 2 = ( ’ 2 sin 2 + 2 ’ cos sin + 2 cos 2 ) dl = [( ’) 2 + 2 ] d l = [( ’) 2 + 2 ] d №22 I Вокруг х a ) { y = f ( x ) {x = a, x = b {y = 0 V x = a b f 2 ( x ) dx б) Час. случай V x = a b f 2 ( x ) dx - a b g 2 ( x ) dx = a b [ f 2 ( x ) - g 2 ( x )] dx II Вокруг y a) V y = c d g 2 (y)dy б ) Час . Случай V y = c d f 2 ( y ) dy - c d g 2 ( y ) dy = c d [ f 2 ( y ) - g 2 ( y )] dy №23 Опред-е: числ. ряд – сумма беск. числа слаг-ых u 1 + u 2 +…+ u n = n =1 u n (1) , каж. из кот. – опред. число. u n = n /( n 2 +1) Последов-ть частичных сумм: S 1 = u 1 S 2 = u 1 +u 2 S 3 = u 1 +u 2 +u 3 ---------------- S n = u 1 +u 2 +…+u n n=1 u n = S n + k=n+1 u k = S n + r n , r n – nй остаток ряда Опред-е: ряд 1 наз-ся сход-ся рядом, если у него сущ-т, конечен lim послед-ти частичных сумм, а сам этот lim наз-ся суммой числ. ряда. S = lim ( n ) S n Опред-е: если у этой послед-ти частич. сумм нет lim или lim = , то ряд наз-ся расход-ся.

Теорема: д/того, чтобы ряд 1 сходился, необх-о и достат-о, чтобы остаток ряда к 0, т.е. чтобы lim ( n ) r n = 0 Теорема (необх. усл-е сход. ряда)2: если ряд 1 сход-ся, то lim ( n ) u n = 0. Следствие из теор.2: если n -й член ряда не к 0, то ряд расх-ся. №24 Основ. св-ва сход. рядов: 1) Если члены сход-ся ряда умнож. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тоже сход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход. ряда, т.е. n =1 u n = S ; n =1 u n = S 2) Если ряд 1 сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него убрать конеч. число слаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся. 3) Если ряд с членами u n сход-ся и его сумма = n =1 u n = S и ряд с членами v n сход-ся и его сумма = n =1 v n = , то ряд с чл. ( u n + v n ) сход-ся и его сумма = n =1 ( u n + v n ) = S + n =1 1/ n = 1+1/2+1/3+…+1/ n … - гармонич. ряд №25 Признак Даламбера: Пусть дан ряд n =1 u n , если lim ( n ) u n +1 / u n = k { k { k >1 – ряд расх. { k =1 – вопр. о сход. ряда ост-ся открытым Интегральный признак: Им-ся ряд с положит. членами. u n = f ( n ) – эта ф-ия определена на интерв. [1; + ]. Если 1 f ( x ) dx несобств. интеграл сход-ся, то изнач. ряд тоже сход-ся. n =1 1/ n – гарм. ряд; n =1 1/ n – обобщ. гарм. ряд. f ( x ) = 1/ x 1 dx / x = lim ( A ) 1 A dx / x = lim ( A ) [- x - +1 ] | A 1 = lim ( A ) [ - A - +1 ] = lim ( A ) [ – / A - +1 ] Если >1, вычит. к 0 при А , ряд сход-ся. Если 1, Аb положит. степ., при А ряд расх-ся. №26 n =1 (-1) n +1 u n = u 1 - u 2 + u 3 - u 4 +…, причем u n 0 Теорема Лейбница: если д/членов знакочеред-ся ряда справедливы соотнош-я u n +1 u n и lim ( n ) u n = 0, то дан. ряд сход-ся. Док-во: Найдем 2n частичную сумму ряда: S 2 n = ( u 1 – u 2 ) + ( u 3 - u 4 ) +…+( u 2 n -1 - u 2 n ) = послед-ть, состав-я из четных частич-х сумм – возраст-я = u 1 –( u 2 – u 3 ) + ( u 4 – u 5 )-…-( u 2 n -2 - u 2 n -1 ) - u 2 n u 1 имеем послед-ть монотонно возр-х сумм 1 =>она имеет lim Рассмотрим нечет. частич. сумму S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 lim (n ) S 2n+1 = lim (n ) S 2n + lim (n ) u 2n+1 = S Чтд. n =1 (-1) n / n – знакочеред. ряд u n = 1/n, u n+1 = 1/(n+1) u n > u n+1 lim (n ) u n = lim (n ) 1/n = 0 №27 (1) n =1 u n – числа u и n могут иметь произвол. знаки (2) n =1 | u n | - ряд из абсолют. знач-й ряда (1) Обозначим ч/з S n n -ную частич. сумму 1-го ряда и ч/з n – 2-го ряда. | S n | = | n k =1 u k | n k =1 | u k | = n | S n | n Опред-е: если д/ряда (1) сход-ся ряд, состав-й из абсолют. знач-й членов ряда (1) (т.е. ряд 2) , то ряд 1 наз-ся абсолютно сход-ся рядом. Если же ряд 1 сход-ся, а ряд 2 расх-ся, то ряд 1 наз-ся условно сход-ся рядрм. №28 Ряды можно составлять и из ф-ий – функц-е ряды: k =1 f k ( x ) Выберем нек. ( )х этой области опред-я, получим числ. ряд. Мн-во тех ( )-ек х, д/кот. соотв-е числ. ряды сход-ся, наз-ся областью сход-ти функц. ряда. f 1 ( x 0 )+ f 2 ( x 0 )+…+ f n ( x 0 )+…= S (х 0 ) Ч/з S (х) будем обознач. ф-ию, опред. на области сход-ти, кот. наз-ся суммой эт. ряда.

Степенным рядом наз-ся n =0 С n (х-х 0 ) n (1) Числа С n -ные наз-ся коэф-ом степ. ряда, число х 0 наз-ся центром степ. ряда. В ( )х=х 0 степ. ряд сход-ся.

Теорема Абеля: утвержд.1: если ряд 1 сход-ся в нек. ( )х 1 , то он сход-ся в люб. ( )х, удовл-ей нерав-ву |х-х 0 | 1 -х 0 |. утвержд.2: если ряд 1 расх-ся в нек. ( )х 2 , то он расх-ся в люб. ( )х, удовл-ей нерав-ву |х-х 0 |>|х 2 -х 0 |. Областью сход-ти степ-го ряда явл-ся интервал с центром в ( )х 0 (х 0 – R , х 0 + R ), число R - max расстояние от ( )х 0 до ( ), где ряд сх-ся – радиус сход-ти степ. ряда. R = lim ( n ) | C n |/| C n +1 | - правило д/нахожд. радиуса сход-ти. №29 Св-ва степ. рядов: 1) В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся абсолютно. 2) В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся к непрерыв. ф-ии. 3) Степ. ряд можно почленно диффер-ть. Получ-й при этом нов. степ. ряд будет сход-ся в том же самом интерв-ле к ф-ии , кот. явл-ся производ-й суммы исход. степ. ряда. n =0 C n (х-х 0 ) n = S ( x ) n =0 C n n (х-х 0 ) n -1 = S ’( x ) 4) Степ. ряд можно почленно интегрировать, при этом получ-й новый степ. ряд сход-ся в том же интервале к ф-ии = от ф-ии исход. ряда. n =0 C n (х-х 0 ) n dx = S ( x ) dx n =0 C n /( n +1) (х-х 0 ) n +1 = S ( x ) dx №30 R может = люб. числу от 0 до + . n =0 C n (х-х 0 ) n = S ( x ) (х 0 – R , х 0 + R ) – интерв. S (х 0 ) = С 0 С 1 + 2С 2 (х-х 0 ) +3С 3 (х-х 0 ) 2 +…= S ’( x ); С 1 = S ’(х 0 ) С 2 + 3 2С 3 (х-х 0 ) +4 3С 4 (х-х 0 ) 2 +…= S”(x); С 2 = S”( х 0 )/2 С n = S (n) ( х 0 )/n! S (х) = n =0 S ( n ) (х 0 )/ n ! (х-х 0 ) n – ряд Тейлора д/ф-ии S (х) №31 Опред-е: диф-м ур-м наз-ся ур-е, связывающее искомую ф-ию одной или неск-х переменных, эти переменные и производ-е различ. порядков дан. ф-ии. Если исход. ф-ия зависит от 1 перемен. => ур-е обыкновенное, если от 2 и более перемен. => ур-е в частных производных. F ’( x ) = f ( x ) G ( x , y , y ’,… y ( n ) )=0 – общая запись обык. диф. ур-я Опред-е: решением диф-го ур-я наз-ся такая ф-ия у, кот. при подстановке ее в ур-е превращ. его в тождество. у”+ y =0 y = sinx Задача о нахождении реш-я диф. ур-я наз-ся задачей интегриров-я дан. диф. ур-я.

График реш-я диф. ур-я наз-т интегральной кривой. Реш-е, зависящее от произвольных const наз-ся общим реш-м диф. ур-я. №32 Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся диф. ур-м с разделяющимися переменными, если оно может быть записано в одном из след. видов: (*) dy/dx = f(x)g(y); dy/g(y) = f(x)dx (**) M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0; M(x)dx/P(x) = Q(y)dy/N(y) (*) dy/g(y) = f(x)dy (**) M(x)dx/P(x) = - Q(y)dy/N(y) №33 Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся однородным, если его можно записать в след. виде: y ’ = f ( y / x ) Ф-ия f ( x , y ) наз-ся однород. ф-ией порядка k , если f ( dx , dy ) = k f ( x , y ). Пример: y ’ = ( x +2 y )/ x y ’ = 1+2 y / x Пусть y / x = z , y = zx y ’ = z + xz ’ z + xz ’ = 1+2 z xz ’ = 1+ z dz /(1+ z ) = dx / x dz /(1+ z ) = dx / x ln |1+ z | = ln | x |+ lnC |1+ z | =| x | C z = xC – 1 y/x = xC – 1 y = x 2 C - x №34 Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка, им. вид y ’+ f ( x ) y = g ( x ), наз-ся линейным диф-м ур-м. Если g ( x ) 0, то соотв. ур-е наз-ся однород. лин. ур-м. Если g ( x ) 0, то ур-е наз-ся неоднородным. Реш-е им. вид: y ( x ) = u ( x ) v ( x ) y ’ = u ’ v + uv ’ u ’ v + uv ’ + f ( x ) uv = g ( x ) u’v + u(v’ + f(x)v) = g(x) v’ + f(x)v= 0 dv/v = -f(x)dx v = - f ( x ) dx №35 В нек. случаях реш-е диф. ур-я 2-го порядка можно свести к послед. реш-ю 2-х диф. ур-й 1-го порядка. В этих случаях говорят, что диф. ур-е 2-го порядка допускает пониж. порядка ур-я. а) y ” = f ( x ) – прав. частьна зависит от у y’ = z z’ = f(x)dx y’ = f(x)dx б) если в записи ур-я 2-го порядка не входит искомая ф-ия у G (x, y’, y”) = 0 y’ = z G (x, z’, z”) = 0 в) когда в ур-ии нет в явном виде независ. перемен. х За независ. перемен. взять у, а за нов. ф-ию – zy ’. G ( y , y ’, y ”) = 0 y ’ = z 2 yy ” = ( y ’) 2 +1 y ’ = z ( y ) y ” = z ’ y y ’ = z ’ z 2 yz ’ z = z 2 +1 2 yz dz / dy = z 2 +1 2 zdz /( z 2 +1) = dy / y ln | z 2 +1| = ln | y | + ln | C 1 | z 2 +1 = yC 1 z = ( yC 1 – 1) dy / dx = ( yC 1 – 1) dy / ( yC 1 – 1) = dx y = [( x + C 2 ) 2 /4 + 1] 1/ C 1 №36 Пусть z = f ( x , y ) – ф-ия 2-х переменных z ’ x ; z / x – частная производ. по х z ’ у ; z / у – частная производ. по у Полный дифф-ал 1-го порядка от ф-ии z : dz = z / x dx + z / у dy Пример: z = sin ( x 3 y ) z ’ x = cos ( x 3 y ) 3 x 2 y z’ у = cos(x 3 y) x 3 dz = 3x 2 ycos(x 3 y)dx + x 3 cos(x 3 y)dy №37 M 0 (x 0 , y 0 ) M (x 0 + x, y 0 ) f(M) – f(M 0 ) = f(x 0 + x, y 0 ) - f(x 0 , y 0 ) = x f(x 0 , y 0 ) – част . приращ . по перемен . х f ( x 0 + x , y 0 ) - f ( x 0 , y 0 ) = у f ( x 0 , y 0 ) - част. приращ. по перемен. у Опред-е: част. произв-й ф-ии 2-х переменных по перемен. х наз-ся предел отнош-я частного приращ-я по этой перемен. к приращ. этой перемен. при усл-ии когда предел: lim ( x 0) x f ( x , y )/ x = f / x №38, №41 Пусть дана ф-ия 2-х перемен. z = f ( x , y ) z = f ( x + x , y + y ) – полн. приращ. ф-ии = [( x ) 2 – ( y ) 2 ] Если расст. к 0, x и y к 0. Если x и y к 0, то 0. В этом прир-ии ф-ии глав.лин. часть – выр-е: z = f ( x + x , y + y ) - f ( x , y ) = А x + В у + O ( ) Если при 0 можно подобрать вел-ны А и В, не завис. от x и y , такие, что А x + В у будет отлич-ся от полн. приращ-я ф-ии z на вел-ну беск. малую высшего порядка по срав. с , то ф-ия z наз-ся диффер-ой ф-ией, а глав. лин. часть его приращ-я наз-ся полным диф-ом ф-ии z ( dz ) . А x + В у = dz Теорема1: диф-л ф-ии = сумме произвед-й: част. произв-е ф-ии на диф-л этой перемен. dz = z / x dx + z / y dy Теорема2: если ф-ия z = f ( x , y ) обладает непрерывными частными произв-ми z / x и z / y в заданной области, то эта ф-ия диф-ма в дан. области и ее диф-ал выр-ся: dz = z / x dx + z / y dy P(x, y)dx + Q(x, y)dy (*) { f(x,y)/ x = P(x, y) { f(x,y)/ y = Q(x, y) Теорема3: д/того, чтобы выр-е (*) было полн. диф-ом нек. ф-ии f ( x , y ) необходимо, чтобы в заданной области тождественно вып-сь соотн-е: Q / x = P / y (**) – необх. усл-е полн. диф-а. №39 z = f ( x , y ) определена в нек. области G На луче l выберем ( )М(х,у) и будем перемещ-ся из ( )М(х,у) в ( )М’(х+ x ,у+ y ) e z = f (х+ x ,у+ y ) - f (х,у)- приращ-е ф-ии в заданном направ-ии l . ( M , M ’) = l x = l cos x = l sin = l cos ( /2 – ) /2 – = x = l cos y = l cos cos и cos – направляющие cos -ы дан. вектора Опред-е: вел-на lim ( l 0) e z / l = z / l наз-ся производ. ф-ии z по направ. l . Эта вел-на задает скорость измен-я ф-ии в задан. направ-ии l . lim ( l 0) e z / l = z / l = z / x cos + z / y cos №40 Опред-е: max -ом ф-ии f ( x , y ) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое в нек. f ( x 0 , y 0 ), кот. больше всех ее знач-й f ( x , y ), принимаемых дан. ф-ией в ( )-ах нек. окрестности f ( x 0 , y 0 ). Опред-е: min -ом ф-ии f ( x , y ) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое дан. ф-ией, кот. меньше всех знач-й ф-ии, принимаемых ею в ( )-ах нек. окрестности f ( x 1 , y 1 ). Теорема1 (необх. усл-е экстремума): в ( ) экстремума ф-ии неск. переменных каж. ее частная произв-я 1-го порядка либо =0, либо не сущ-т. ( )-ки, в кот. частная произв-я 1-го порядка одновременно =0, и не сущ-т, наз-ся критич. д/дан. ф-ии или подозрит. на экстремум. Опред.: наиб. и наим. знач. ф-ии в дан. области g наз-ся абсолютным (глобальным) экстремумом ф-ии в дан. ( ). Теорема Вейерштрасса: ф-ия, непрерыв. в огранич. и замкнутой области достигает своего наиб. и наим. знач. либо в критич. ( ) этой ф-ии, лежащей в области, либо на границе области.