Численное интегрирование определённых интегралов

Скачать работу - Численное интегрирование определённых интегралов

Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, 'классические' методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ I .Определение интеграла и его геометрический смысл. В начале узнаем, что такое определённый интеграл.

Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F ( b )- F ( a ) любой из преобразованных функций F ( x )+ c при изменении аргумента от x = a до x = b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается

a

. Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D , а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом: (1) это формула Ньютона-Лейбница. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: SHAPE * MERGEFORMAT

y

x

a

b

Если при любой последовательности разбиений отрезка [ a ; b ] таких, что = max x i 0 ( n ) и при любом выборе точек интегральная сумма k = f ( i ) x i стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е. lim n k = lim 0 f ( i ) x i = A (2). Где х i = x i - x i -1 ( i =1,2,…, n ) = max x i – начало разбиения произвольная точка из отрезка[ x i -1 ; x i ] сумма всех произведений f ( i ) x i ( i =1,…, n ). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ: SHAPE * MERGEFORMAT

S

b

a

Всякая непрерывная на отрезке [ a , b ] функция f интегрируема на отрезке [ a , b ], функция f неотрицательна, но определённый интеграл численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f , осью абсцисс и прямыми x = a и x = b , S = f ( x ) dx . II .Приближённые методы вычисления. Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F ’= f , то есть существует первообразная для функции f , но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F . Объясним понятие элементарной функции.

Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями.

Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных.

Например следующие интегралы: e - x dx ; dx / ln x ; ( e x / x ) dx ; sinx 2 dx ; ln x sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях.

Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной.

Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования. В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше.

Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона. 1. Формула прямоугольников Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления: требуется вычислить определённый интеграл: Пусть на отрезке [ a , b ] задана непрерывная функция y = f ( x ). Разделим отрезок [ a , b ], аналогично как в формуле трапеций: точками a = x 0 , x 1, x 2 ,…, x n = b на n равных частей длины х, где х=( b - a )/ n .

y=f(x)

SHAPE * MERGEFORMAT

b=x n

a=x 0

x 1

y 0

y 1

y n

Обозначим через y 0 , y 1 , y 2 ,…, y n -1 , y n значение функции f ( x ) в точках x 0 , x 1 , x 2 …, x n , то есть, если записать в наглядной формуле: Y 0 =f(x 0 ), y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 )…y n ,=f(x n ). В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена). Составим суммы: y 0 x + y 1 x 1 + y 2 x 2 …+ y n -1 x ; Y 1 x + y 2 x +…+ y n x Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием х, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через y i : S пр = a * b = y i x . Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f ( x ) на отрезке [ a , b ], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл.

Вынесем x =( b - a )/ n из каждой суммы, получим: f(x)dx x(y 0 +y 1 +…+y n-1 ); f(x)dx x(y 1 +y 2 +…+y n ). Выразив x , получим окончательно: f(x)dx ((b-a)/n)(y 0 +y 1 +…+y n-1 );(3) f(x)dx ((b-a)/n)(y 1 +y 2 +…+y n );(3*) Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f ( x )- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает S фигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления) P np = , где Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3*) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников: (3**) 2.Формула трапеций. Возьмём определённый интеграл f ( x ) dx , где f ( x )- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат y i -1 и y i ( i =1,2,…, n ). SHAPE * MERGEFORMAT

a

b

x 1

y 0

y 1

y n

Заменившая функция

Заменяемая функция

Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x = a , x = b , y =0, y = f ( x ), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями y i -1 и y i и высотой h =( b - a )/ n , так как (если более привычно выражать для нас) h это x , a x =( b - a )/ n при делении отрезка на n равных отрезков при помощи точек x 0 = a x 1 x n = b . Прямые x = x k разбивают криволинейную трапецию на n полосок.

Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций. SHAPE * MERGEFORMAT

y 0

y 1

y 2

y 3

y 4

x 0 =a

x 1

x 2

x 3

x 4

Площадь крайней полоски слева, как помниться из школьного курса геометрии, равна произведению полусуммы основания на высоту. S = Итак, запишем сказанное выше в математическом виде: (4) Формула (4) и есть формула трапеций Для определения погрешности интеграла вычисленного с помощью формулы трапеций используется формула: где 3.Формула Симпсона (формула парабол). Существует два подхода к формуле Симпсона. В одном используется парабола в другом нет. А) с использованием параболы.

Разделим отрезок [ a ; b ] на чётное число равных частей n =2 m . Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [ x 0 , x 1 ], [ x 1 , x 2 ] и ограниченной заданной кривой y = f ( x ), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M 0 [ x 0 , y 0 ], M 1 [ x 1 , y 1 ], M 2 [ x 2 , y 2 ] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy , имеет вид: Коэффициенты A , B и C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки.

Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла.

Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. Для этого докажем лемму. SHAPE * MERGEFORMAT

M 0

M 1

M 2

x 0 =a

x n =b

Лемма: если криволинейная трапеция ограничена параболой O x и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2 h , то её площадь равна: (5), где y 0 и y 2 - крайние ординаты, а y 1 - ордината кривой в середине отрезка.

Доказательство: SHAPE * MERGEFORMAT

M 0

M 1

M 2

y 0

y 1

y 2

-h

0

h

Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис.

Коэффициент в уравнение параболы определяются из следующих уравнений: Если x 0 =- h , то Если x 1 =0, то ( 6 ) Если x 2 =- h , то Считая коэффициенты A . B , C известными определим площадь параболической трапеции с помощью определённого интеграла: из равенства ( 6 ) следует, что следовательно: ч.т.д. пользуясь формулой (5), можно написать приближённые равенства, учитывая, что складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближённое значение: или ( 7 ) Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления произвольно, но чем это число больше, тем точнее сумма в правой части равенства (6) даёт значение интеграла.

Формула Симпсона даёт самое точное значение интеграла (из классических формул приближённого интегрирования), погрешность для этого метода находится по формуле: где Б) Без использования парабол В тех случаях, когда линия y = f ( x ) между x = a и x = b мало изогнута, интеграл приближенно выражается достаточно простой формулой. SHAPE * MERGEFORMAT

A

P

C

Q

a

p

c

q

B

b

Будем считать f ( x ) положительной и искать площадь криволинейной трапеции aABb . Для этого разделим отрезок [ a ; b ] точкой пополам и в точке c ( c , f ( c ))проведём касательную к линии y = f ( x ). После этого разделим [ a , b ] точками p и g на 3 равные части и проведём через них прямые x = p и x = q . P и Q – точки пересечения прямых с касательной.

Соединив AP и BQ , получим 3 прямолинейные трапеции aAPp , pPQq , qQBb . Сумма площадей этих трапеций равна будет примерно равна площади криволинейной трапеции aABb : Обозначим: Aa , Pp , qQ , bB – основания трапеций; n строго задано n =3 Получаем: 8 ) Обозначим, что: aA = f ( a )= y a , bB = f ( b )= y b . Отрезки pP и qQ не являются ординатами точек линии y = f ( x ), так как P и Q лежат на касательной. Но нам нужна сумма этих отрезков, которая выражается через среднюю линию трапеции и равна полусумме её оснований, откуда SHAPE * MERGEFORMAT

Y=f(x)

a

c

b

x

Малая формула Симпсона пригодна, когда график подынтегральной функции мало изогнут, например для случая, изображённого на рисунке, применять малую формулу уже нельзя, так как она даёт значение 0 на [ a , b ]. Но если отрезок [ a , b ] разбить на части [ a , c ] и [ c , b ] и к каждому из них применить формулу (9), то получится приемлемый результат. Эта идея лежит в основе вывода «большой» формулы Симпсона. Для вычисления интеграла выберем какое-либо чётное число и разложим [ a , b ] на n равных частей точками Раскроем скобки: Это и есть «большая формула Симпсона». Её точность, также как и у всех формул рассмотренных выше, тем выше, чем больше n . Эта формула совпадает с формулой (7), выведенной с помощью парабол. Для оценки погрешности формулы Симпсона используется формула: Качество этой формулы лучше, чем формулы трапеции и прямоугольников, так как при одном и том же n она даёт большую точность. ПРАКТИКА Общий вид интеграла, решение которого, будет рассмотрено в этом разделе: Заданные значения: a =0; c =0,3; m =2; b =3; k =7. Подставим заданные значения: Сначала, решим искомый интеграл напрямую, основываясь на полученные ранее знания.

оценка стоимости гостиницы в Белгороде
оценка ущерба от залива квартиры в Москве
оценка автомобиля в Калуге