Геология

Теория государства и права

Физика

Педагогика

Бухгалтерский учет

Транспорт

Культурология

Радиоэлектроника

Историческая личность

Философия

География, Экономическая география

Охрана природы, Экология, Природопользование

Психология, Общение, Человек

История

Конституционное (государственное) право зарубежных стран

Международные экономические и валютно-кредитные отношения

Гражданская оборона

Менеджмент (Теория управления и организации)

История государства и права зарубежных стран

Программное обеспечение

История отечественного государства и права

Налоговое право

Таможенное право

Технология

Физкультура и Спорт, Здоровье

Литература, Лингвистика

Программирование, Базы данных

Медицина

Материаловедение

Земельное право

Конституционное (государственное) право России

Москвоведение

Сельское хозяйство

Право

Компьютеры, Программирование

Гражданское право

Маркетинг, товароведение, реклама

Астрономия

Иностранные языки

Нероссийское законодательство

Экономическая теория, политэкономия, макроэкономика

Биология

Микроэкономика, экономика предприятия, предпринимательство

Социология

Математика

Экономико-математическое моделирование

Религия

Экономика и Финансы

Искусство

Административное право

Компьютеры и периферийные устройства

Музыка

Государственное регулирование, Таможня, Налоги

Российское предпринимательское право

Астрономия, Авиация, Космонавтика

Трудовое право

Банковское дело и кредитование

Муниципальное право России

Военное дело

Пищевые продукты

Политология, Политистория

Экскурсии и туризм

Криминалистика и криминология

Экологическое право

Физкультура и Спорт

Уголовное и уголовно-исполнительное право

Архитектура

Промышленность и Производство

Компьютерные сети

Банковское право

Военная кафедра

Римское право

Биржевое дело

Ценные бумаги

Прокурорский надзор

Гражданское процессуальное право

Уголовный процесс

Химия

Теория систем управления

Финансовое право

Металлургия

Страховое право

Искусство, Культура, Литература

Законодательство и право

Авиация

История экономических учений

Подобные работы

Экзаменационные билеты по геометрии (9 класс, шпаргалка)

echo "Доказать: BO = OD и AO = OC . Д-во : AOB = COD по стороне и двум прилежащим к ней углам ( AB = DC как противоположные стороны параллелограмма, ABO = CDO , BAO = DCO как накрест лежащие углы при

Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка

echo "Кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области [1,2,3] . В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна и

Билеты по аналитической геометрии

echo "Определение: два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых. Определение: три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях. Теорема:

Пирамиды

echo "Пирамиды представляют интерес для математиков, историков, физиков, биологов, медиков, философов. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя не стоит забывать и о

Шпаргалка (математика)

echo "Ломаной, когда число звеньев неогранич-о растет, а длина max звена стремится к 0. При оч. мал. х: dl = [( dx ) 2 + ( dy ) 2 ] = [( dx ) 2 +( y ’ x ) 2 + ( dx ) 2 ] = [1+( y ’ x ) 2 ] dx l дуги a

Теория графов. Методические указания по подготовке к контрольным работам по дисциплине «Дискретная математика»

echo "Предназначены для студентов 1 курса направления 654600: Информатика и вычислительная техника, : Защита информации для подготовки к контрольным работам по курсу «Дискретная математика». Табл. 2.

Нестандартный анализ

echo "Нестандартный анализ можно сравнить с мостом, переброшенным через реку. Постройка моста не расширяет доступной нам территории, но сокращает путь с одного берега на другой. Подобным образом нес

Статистика

echo "Задача 1. Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.: № предприятия Выпуск продукции Прибыль № предприятия Выпу

Шпаргалка (математика)

Ломаной, когда число звеньев неогранич-о растет, а длина max звена стремится к 0. При оч. мал. х: dl = [( dx ) 2 + ( dy ) 2 ] = [( dx ) 2 +( y ’ x ) 2 + ( dx ) 2 ] = [1+( y ’ x ) 2 ] dx l дуги ab = a b [1+( y ’ x ) 2 ] dx – формула д/вычисл. длины дуги. №20 { x = ( t ) { y = ( t ) dx = ’( t ) dt dy = ’( t ) dt l дуги ab = [ ( ’( t )) 2 + ( ’( t )) 2 ] dt №21 { x = cos { y = sin dx = ( ’ cos – sin ) d dy = ( ’ sin + cos ) d ( dx ) 2 = ( ’ 2 cos 2 – 2 ’ cos sin + 2 sin 2 ) ( dy ) 2 = ( ’ 2 sin 2 + 2 ’ cos sin + 2 cos 2 ) dl = [( ’) 2 + 2 ] d l = [( ’) 2 + 2 ] d №22 I Вокруг х a ) { y = f ( x ) {x = a, x = b {y = 0 V x = a b f 2 ( x ) dx б) Час. случай V x = a b f 2 ( x ) dx - a b g 2 ( x ) dx = a b [ f 2 ( x ) - g 2 ( x )] dx II Вокруг y a) V y = c d g 2 (y)dy б ) Час . Случай V y = c d f 2 ( y ) dy - c d g 2 ( y ) dy = c d [ f 2 ( y ) - g 2 ( y )] dy №23 Опред-е: числ. ряд – сумма беск. числа слаг-ых u 1 + u 2 +…+ u n = n =1 u n (1) , каж. из кот. – опред. число. u n = n /( n 2 +1) Последов-ть частичных сумм: S 1 = u 1 S 2 = u 1 +u 2 S 3 = u 1 +u 2 +u 3 ---------------- S n = u 1 +u 2 +…+u n n=1 u n = S n + k=n+1 u k = S n + r n , r n – nй остаток ряда Опред-е: ряд 1 наз-ся сход-ся рядом, если у него сущ-т, конечен lim послед-ти частичных сумм, а сам этот lim наз-ся суммой числ. ряда. S = lim ( n ) S n Опред-е: если у этой послед-ти частич. сумм нет lim или lim = , то ряд наз-ся расход-ся.

Теорема: д/того, чтобы ряд 1 сходился, необх-о и достат-о, чтобы остаток ряда к 0, т.е. чтобы lim ( n ) r n = 0 Теорема (необх. усл-е сход. ряда)2: если ряд 1 сход-ся, то lim ( n ) u n = 0. Следствие из теор.2: если n -й член ряда не к 0, то ряд расх-ся. №24 Основ. св-ва сход. рядов: 1) Если члены сход-ся ряда умнож. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тоже сход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход. ряда, т.е. n =1 u n = S ; n =1 u n = S 2) Если ряд 1 сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него убрать конеч. число слаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся. 3) Если ряд с членами u n сход-ся и его сумма = n =1 u n = S и ряд с членами v n сход-ся и его сумма = n =1 v n = , то ряд с чл. ( u n + v n ) сход-ся и его сумма = n =1 ( u n + v n ) = S + n =1 1/ n = 1+1/2+1/3+…+1/ n … - гармонич. ряд №25 Признак Даламбера: Пусть дан ряд n =1 u n , если lim ( n ) u n +1 / u n = k { k { k >1 – ряд расх. { k =1 – вопр. о сход. ряда ост-ся открытым Интегральный признак: Им-ся ряд с положит. членами. u n = f ( n ) – эта ф-ия определена на интерв. [1; + ]. Если 1 f ( x ) dx несобств. интеграл сход-ся, то изнач. ряд тоже сход-ся. n =1 1/ n – гарм. ряд; n =1 1/ n – обобщ. гарм. ряд. f ( x ) = 1/ x 1 dx / x = lim ( A ) 1 A dx / x = lim ( A ) [- x - +1 ] | A 1 = lim ( A ) [ - A - +1 ] = lim ( A ) [ – / A - +1 ] Если >1, вычит. к 0 при А , ряд сход-ся. Если 1, Аb положит. степ., при А ряд расх-ся. №26 n =1 (-1) n +1 u n = u 1 - u 2 + u 3 - u 4 +…, причем u n 0 Теорема Лейбница: если д/членов знакочеред-ся ряда справедливы соотнош-я u n +1 u n и lim ( n ) u n = 0, то дан. ряд сход-ся. Док-во: Найдем 2n частичную сумму ряда: S 2 n = ( u 1 – u 2 ) + ( u 3 - u 4 ) +…+( u 2 n -1 - u 2 n ) = послед-ть, состав-я из четных частич-х сумм – возраст-я = u 1 –( u 2 – u 3 ) + ( u 4 – u 5 )-…-( u 2 n -2 - u 2 n -1 ) - u 2 n u 1 имеем послед-ть монотонно возр-х сумм 1 =>она имеет lim Рассмотрим нечет. частич. сумму S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 lim (n ) S 2n+1 = lim (n ) S 2n + lim (n ) u 2n+1 = S Чтд. n =1 (-1) n / n – знакочеред. ряд u n = 1/n, u n+1 = 1/(n+1) u n > u n+1 lim (n ) u n = lim (n ) 1/n = 0 №27 (1) n =1 u n – числа u и n могут иметь произвол. знаки (2) n =1 | u n | - ряд из абсолют. знач-й ряда (1) Обозначим ч/з S n n -ную частич. сумму 1-го ряда и ч/з n – 2-го ряда. | S n | = | n k =1 u k | n k =1 | u k | = n | S n | n Опред-е: если д/ряда (1) сход-ся ряд, состав-й из абсолют. знач-й членов ряда (1) (т.е. ряд 2) , то ряд 1 наз-ся абсолютно сход-ся рядом. Если же ряд 1 сход-ся, а ряд 2 расх-ся, то ряд 1 наз-ся условно сход-ся рядрм. №28 Ряды можно составлять и из ф-ий – функц-е ряды: k =1 f k ( x ) Выберем нек. ( )х этой области опред-я, получим числ. ряд. Мн-во тех ( )-ек х, д/кот. соотв-е числ. ряды сход-ся, наз-ся областью сход-ти функц. ряда. f 1 ( x 0 )+ f 2 ( x 0 )+…+ f n ( x 0 )+…= S (х 0 ) Ч/з S (х) будем обознач. ф-ию, опред. на области сход-ти, кот. наз-ся суммой эт. ряда.

Степенным рядом наз-ся n =0 С n (х-х 0 ) n (1) Числа С n -ные наз-ся коэф-ом степ. ряда, число х 0 наз-ся центром степ. ряда. В ( )х=х 0 степ. ряд сход-ся.

Теорема Абеля: утвержд.1: если ряд 1 сход-ся в нек. ( )х 1 , то он сход-ся в люб. ( )х, удовл-ей нерав-ву |х-х 0 | 1 -х 0 |. утвержд.2: если ряд 1 расх-ся в нек. ( )х 2 , то он расх-ся в люб. ( )х, удовл-ей нерав-ву |х-х 0 |>|х 2 -х 0 |. Областью сход-ти степ-го ряда явл-ся интервал с центром в ( )х 0 (х 0 – R , х 0 + R ), число R - max расстояние от ( )х 0 до ( ), где ряд сх-ся – радиус сход-ти степ. ряда. R = lim ( n ) | C n |/| C n +1 | - правило д/нахожд. радиуса сход-ти. №29 Св-ва степ. рядов: 1) В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся абсолютно. 2) В интервале сход-ти степ. ряда ряд сход-ся к непрерыв. ф-ии. 3) Степ. ряд можно почленно диффер-ть. Получ-й при этом нов. степ. ряд будет сход-ся в том же самом интерв-ле к ф-ии , кот. явл-ся производ-й суммы исход. степ. ряда. n =0 C n (х-х 0 ) n = S ( x ) n =0 C n n (х-х 0 ) n -1 = S ’( x ) 4) Степ. ряд можно почленно интегрировать, при этом получ-й новый степ. ряд сход-ся в том же интервале к ф-ии = от ф-ии исход. ряда. n =0 C n (х-х 0 ) n dx = S ( x ) dx n =0 C n /( n +1) (х-х 0 ) n +1 = S ( x ) dx №30 R может = люб. числу от 0 до + . n =0 C n (х-х 0 ) n = S ( x ) (х 0 – R , х 0 + R ) – интерв. S (х 0 ) = С 0 С 1 + 2С 2 (х-х 0 ) +3С 3 (х-х 0 ) 2 +…= S ’( x ); С 1 = S ’(х 0 ) С 2 + 3 2С 3 (х-х 0 ) +4 3С 4 (х-х 0 ) 2 +…= S”(x); С 2 = S”( х 0 )/2 С n = S (n) ( х 0 )/n! S (х) = n =0 S ( n ) (х 0 )/ n ! (х-х 0 ) n – ряд Тейлора д/ф-ии S (х) №31 Опред-е: диф-м ур-м наз-ся ур-е, связывающее искомую ф-ию одной или неск-х переменных, эти переменные и производ-е различ. порядков дан. ф-ии. Если исход. ф-ия зависит от 1 перемен. => ур-е обыкновенное, если от 2 и более перемен. => ур-е в частных производных. F ’( x ) = f ( x ) G ( x , y , y ’,… y ( n ) )=0 – общая запись обык. диф. ур-я Опред-е: решением диф-го ур-я наз-ся такая ф-ия у, кот. при подстановке ее в ур-е превращ. его в тождество. у”+ y =0 y = sinx Задача о нахождении реш-я диф. ур-я наз-ся задачей интегриров-я дан. диф. ур-я.

График реш-я диф. ур-я наз-т интегральной кривой. Реш-е, зависящее от произвольных const наз-ся общим реш-м диф. ур-я. №32 Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся диф. ур-м с разделяющимися переменными, если оно может быть записано в одном из след. видов: (*) dy/dx = f(x)g(y); dy/g(y) = f(x)dx (**) M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0; M(x)dx/P(x) = Q(y)dy/N(y) (*) dy/g(y) = f(x)dy (**) M(x)dx/P(x) = - Q(y)dy/N(y) №33 Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка наз-ся однородным, если его можно записать в след. виде: y ’ = f ( y / x ) Ф-ия f ( x , y ) наз-ся однород. ф-ией порядка k , если f ( dx , dy ) = k f ( x , y ). Пример: y ’ = ( x +2 y )/ x y ’ = 1+2 y / x Пусть y / x = z , y = zx y ’ = z + xz ’ z + xz ’ = 1+2 z xz ’ = 1+ z dz /(1+ z ) = dx / x dz /(1+ z ) = dx / x ln |1+ z | = ln | x |+ lnC |1+ z | =| x | C z = xC – 1 y/x = xC – 1 y = x 2 C - x №34 Опред-е: диф. ур-е 1-го порядка, им. вид y ’+ f ( x ) y = g ( x ), наз-ся линейным диф-м ур-м. Если g ( x ) 0, то соотв. ур-е наз-ся однород. лин. ур-м. Если g ( x ) 0, то ур-е наз-ся неоднородным. Реш-е им. вид: y ( x ) = u ( x ) v ( x ) y ’ = u ’ v + uv ’ u ’ v + uv ’ + f ( x ) uv = g ( x ) u’v + u(v’ + f(x)v) = g(x) v’ + f(x)v= 0 dv/v = -f(x)dx v = - f ( x ) dx №35 В нек. случаях реш-е диф. ур-я 2-го порядка можно свести к послед. реш-ю 2-х диф. ур-й 1-го порядка. В этих случаях говорят, что диф. ур-е 2-го порядка допускает пониж. порядка ур-я. а) y ” = f ( x ) – прав. частьна зависит от у y’ = z z’ = f(x)dx y’ = f(x)dx б) если в записи ур-я 2-го порядка не входит искомая ф-ия у G (x, y’, y”) = 0 y’ = z G (x, z’, z”) = 0 в) когда в ур-ии нет в явном виде независ. перемен. х За независ. перемен. взять у, а за нов. ф-ию – zy ’. G ( y , y ’, y ”) = 0 y ’ = z 2 yy ” = ( y ’) 2 +1 y ’ = z ( y ) y ” = z ’ y y ’ = z ’ z 2 yz ’ z = z 2 +1 2 yz dz / dy = z 2 +1 2 zdz /( z 2 +1) = dy / y ln | z 2 +1| = ln | y | + ln | C 1 | z 2 +1 = yC 1 z = ( yC 1 – 1) dy / dx = ( yC 1 – 1) dy / ( yC 1 – 1) = dx y = [( x + C 2 ) 2 /4 + 1] 1/ C 1 №36 Пусть z = f ( x , y ) – ф-ия 2-х переменных z ’ x ; z / x – частная производ. по х z ’ у ; z / у – частная производ. по у Полный дифф-ал 1-го порядка от ф-ии z : dz = z / x dx + z / у dy Пример: z = sin ( x 3 y ) z ’ x = cos ( x 3 y ) 3 x 2 y z’ у = cos(x 3 y) x 3 dz = 3x 2 ycos(x 3 y)dx + x 3 cos(x 3 y)dy №37 M 0 (x 0 , y 0 ) M (x 0 + x, y 0 ) f(M) – f(M 0 ) = f(x 0 + x, y 0 ) - f(x 0 , y 0 ) = x f(x 0 , y 0 ) – част . приращ . по перемен . х f ( x 0 + x , y 0 ) - f ( x 0 , y 0 ) = у f ( x 0 , y 0 ) - част. приращ. по перемен. у Опред-е: част. произв-й ф-ии 2-х переменных по перемен. х наз-ся предел отнош-я частного приращ-я по этой перемен. к приращ. этой перемен. при усл-ии когда предел: lim ( x 0) x f ( x , y )/ x = f / x №38, №41 Пусть дана ф-ия 2-х перемен. z = f ( x , y ) z = f ( x + x , y + y ) – полн. приращ. ф-ии = [( x ) 2 – ( y ) 2 ] Если расст. к 0, x и y к 0. Если x и y к 0, то 0. В этом прир-ии ф-ии глав.лин. часть – выр-е: z = f ( x + x , y + y ) - f ( x , y ) = А x + В у + O ( ) Если при 0 можно подобрать вел-ны А и В, не завис. от x и y , такие, что А x + В у будет отлич-ся от полн. приращ-я ф-ии z на вел-ну беск. малую высшего порядка по срав. с , то ф-ия z наз-ся диффер-ой ф-ией, а глав. лин. часть его приращ-я наз-ся полным диф-ом ф-ии z ( dz ) . А x + В у = dz Теорема1: диф-л ф-ии = сумме произвед-й: част. произв-е ф-ии на диф-л этой перемен. dz = z / x dx + z / y dy Теорема2: если ф-ия z = f ( x , y ) обладает непрерывными частными произв-ми z / x и z / y в заданной области, то эта ф-ия диф-ма в дан. области и ее диф-ал выр-ся: dz = z / x dx + z / y dy P(x, y)dx + Q(x, y)dy (*) { f(x,y)/ x = P(x, y) { f(x,y)/ y = Q(x, y) Теорема3: д/того, чтобы выр-е (*) было полн. диф-ом нек. ф-ии f ( x , y ) необходимо, чтобы в заданной области тождественно вып-сь соотн-е: Q / x = P / y (**) – необх. усл-е полн. диф-а. №39 z = f ( x , y ) определена в нек. области G На луче l выберем ( )М(х,у) и будем перемещ-ся из ( )М(х,у) в ( )М’(х+ x ,у+ y ) e z = f (х+ x ,у+ y ) - f (х,у)- приращ-е ф-ии в заданном направ-ии l . ( M , M ’) = l x = l cos x = l sin = l cos ( /2 – ) /2 – = x = l cos y = l cos cos и cos – направляющие cos -ы дан. вектора Опред-е: вел-на lim ( l 0) e z / l = z / l наз-ся производ. ф-ии z по направ. l . Эта вел-на задает скорость измен-я ф-ии в задан. направ-ии l . lim ( l 0) e z / l = z / l = z / x cos + z / y cos №40 Опред-е: max -ом ф-ии f ( x , y ) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое в нек. f ( x 0 , y 0 ), кот. больше всех ее знач-й f ( x , y ), принимаемых дан. ф-ией в ( )-ах нек. окрестности f ( x 0 , y 0 ). Опред-е: min -ом ф-ии f ( x , y ) наз-ся такое знач-е этой ф-ии, принимаемое дан. ф-ией, кот. меньше всех знач-й ф-ии, принимаемых ею в ( )-ах нек. окрестности f ( x 1 , y 1 ). Теорема1 (необх. усл-е экстремума): в ( ) экстремума ф-ии неск. переменных каж. ее частная произв-я 1-го порядка либо =0, либо не сущ-т. ( )-ки, в кот. частная произв-я 1-го порядка одновременно =0, и не сущ-т, наз-ся критич. д/дан. ф-ии или подозрит. на экстремум. Опред.: наиб. и наим. знач. ф-ии в дан. области g наз-ся абсолютным (глобальным) экстремумом ф-ии в дан. ( ). Теорема Вейерштрасса: ф-ия, непрерыв. в огранич. и замкнутой области достигает своего наиб. и наим. знач. либо в критич. ( ) этой ф-ии, лежащей в области, либо на границе области.

оценка стоимости облигаций в Москве
оценка жилого дома в Твери
оценка коммерческой недвижимости в Орле