Исследование кривых и поверхностей второго порядка

Задача Определить зависимость типа данной кривой от параметра b с помощью инвариантов.

Привести уравнение кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.

Написать уравнения осей канонической системы координат.

Построить кривую в канонической и общей системах координат.

Исследовать форму данной поверхности методом сечений и построить полученные сечения.

Построить поверхность в канонической системе координат.

Исходные данные Уравнение кривой второго порядка: . Уравнение поверхности второго порядка: Их инварианты и классификация.

Анализ кривой второго порядка Для данного уравнения кривой второго порядка: (1) 1. Определение зависимости типа данной кривой (1) от параметра b с помощью инвариантов Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем: Вычислим инварианты кривой . . . В соответствии с классификацией кривых второго порядка: Если I 2 = 0, то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. Но I 2 = -306-11 b , следовательно, если Если I 2 ¹ 0, то данная кривая – центральная.

Следовательно, при данная кривая – центральная. Если I 2 > 0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа.

Следовательно, если I 1 I 3 = (1- b )(4885 b -306) I 2 > 0, I 1 I 3 Если I 2 Если I 2 I 3 = 0, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.

Получим: Следовательно, если Если I 2 I 3 ¹ 0, то данная кривая – гипербола. Но I 3 ¹ 0 при всех за исключением точки

Значение параметра b
Тип кривой	Эллипс	Парабола	Гипербола	Две пересекающиеся прямые	Гипербола

2. Приведение уравнения кривой при b = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей При b = 0 уравнение (1) принимает следующий вид: (2) Согласно таблице, это гипербола.

Приведем уравнение кривой (2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Мы установили, что данная кривая – центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой. а) Совершим параллельный перенос начала координат в точку x , y произвольной точки М плоскости в системе координат xOy и координаты x ’, y ’ в новой системе координат x ’ O ’ y ’ связаны соотношениями: Подставляя эти выражения для x и y в уравнение (1), получим: Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида В этом уравнении коэффициенты при x ’ и y ’ приравняем к нулю.

Получим систему уравнений относительно которая определяет координаты центра исходной кривой.

Следовательно, - решение данной системы и точка О’(2, 4) – центр данной кривой.

Подставим найденные значения в уравнение (2), получим (3) б) Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол a . При повороте осей координат на угол a координаты x ’, y ’ произвольной точки М плоскости в системе координат х’ O ’ y ’ и координаты Х, Y в новой системе координат XO ’ Y связаны соотношениями: (4) Подставляя (4) в уравнение кривой (3), получим: Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим уравнение вида: (5) Выберем угол a такой, что в уравнении (5) коэффициент при произведении X Y равен нулю: Это требование эквивалентно уравнению: (6) Решая уравнение (6), получим: Tg a = k , k – угловой коэффициент оси О’Х. Он определяется формулой: l 1 – корень характеристического уравнения данной кривой, совпадающий со знаком I 3 . Характеристическое уравнение для данной кривой (1) имеет вид Следовательно, Тогда получим, что tg a найдем sin a и cos a : Подставляя эти значения в уравнение (5), получим: т. е. преобразование уравнения будет иметь вид и, соответственно, уравнение - это каноническое уравнение исходной гиперболы с центром в точке O ’(2, 4) и полуосями и 3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот (если они есть) данной кривой второго порядка Найдем фокусы гиперболы. Ко o рдинаты F 1,2 равны ( ± с, 0), с определяется по формуле: Следовательно, точки и - фокусы данной гиперболы.

Найдем эксцентриситет гиперболы: Найдем директрисы гиперболы: D 1 : D 2 : . Найдем асимптоты гиперболы: . 4. Вывод уравнения осей канонической системы координат Напишем уравнения осей канонической системы координат. Из задания 2 известно, что точка О’(2, 4) – центр данной кривой.

Оттуда же известен угловой коэффициент оси O ’ X XO ’ Y в исходной системе координат xOy . Так как система XO ’ Y – каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой – точке О’(2, 4), т е. оси О’ X и O ’ Y проходят через точку О’. Уравнение прямой, проходящей через данную точку k имеет вид: Следовательно, ось О’ X в системе координат xOy имеет уравнение Так как ось О’ Y перпендикулярна оси О’ X , то ее угловой коэффициент Следовательно, ось О’ Y имеет уравнение или 5. Построение кривой в канонической и общей системах координат На основе полученной информации, нарисуем кривую в канонической и общей системах координат: Рис. 1. Кривая в общей и канонической системах координат. Рис. 2. Кривая в канонической системе координат.

Анализ поверхности второго порядка Для данного уравнения поверхности второго порядка: (7) 1. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений 1) Для того чтобы исследовать поверхность методом сечений, сначала приведем уравнение (7) к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота осей координат.

Совершим параллельный перенос начала координат в точку x , y , z произвольной точки М плоскости в системе координат Oxyz и координаты x ’, y ’, z ’ в новой системе координат O ’ x ’ y ’ z ’ связаны соотношениями: Подставляя эти выражения для x , y , z в уравнение (7), получим: Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида (8) В уравнении (8) коэффициенты при x ,’ y ’, z ’ приравняем к нулю.

Получим систему уравнений относительно , которая определяет координаты центра исходной поверхности.

Следовательно, - решение данной системы и точка – центр данной поверхности.

Подставим найденные значения , в уравнение (8), получим (9) Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол a . При повороте осей координат O ’ Y и O ’ Z на угол a координаты y ’, z ’ произвольной точки М плоскости yOz в системе координат O ’х’ y ’ z ’ и координаты Y , Z в новой системе координат O ’ XYZ связаны соотношениями: (10) Подставляя (10) в уравнение поверхности (9) с последующим раскрытием скобок и приведением подобных членов, получим уравнение вида: (11) Выберем угол a такой, что в уравнении (11) коэффициент при произведении Y Z равен нулю: Получим, что a , решим характеристическое уравнение для эллипса Отсюда вычислим угловой коэффициент поворота осей k : Следовательно, cos a = sin a = ± Подставляя эти значения в уравнение (11), получим: т. е. уравнение (12) – это каноническое уравнение для данной поверхности, которое задает эллипсоид с полуосями и a = b , то эллипсоид называется сплюснутым. 2) Данное каноническое уравнение (12) задает эллипсоид.

Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостями Z = h ( h = const ). Эти линии определяются системой уравнений: Решая эту систему, получаем: (13) где h – любое вещественное число.

Уравнения (13) – это уравнения окружностей с радиусом ½ h ½ , с центрами на оси O ’ Z в точках C (0, 0, h ). Плоскость XO ’ Y ( h =0) пересекает эллипсоид по окружности: Эта окружность будет наибольшей, как видно из выражения радиуса. При получаем уравнение: т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При получаем отрицательное число под корнем, т. е. при таких значениях h плоскость XO ’ Y не пересекает данный эллипсоид. При получаем окружность: Изобразим полученные сечен Рис. 3. Сечение плоскостью Z = h . Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостью X = h : Решая эту систему, получаем: (14) где h – любое вещественное число.

оценка стоимости аренды земельного участка в Туле
оценка квартиры в новостройке в Липецке
оценка стоимости сооружений в Белгороде